Cho tứ giác ABCD, để tìm ra tổng các góc của tứ giác ABCD, ta cần kẻ đường chéo BD và vận dụng định lí nào dưới đây?

Đáp án đúng là: C

Vì số đo của các góc \[\widehat A\,;\,\,\widehat B\,;\,\,\widehat C\,;\,\,\widehat D\] tỉ lệ thuận với 4; 3; 2; 1 nên ta có:

\(\frac{{\widehat A}}{4} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{2} = \frac{{\widehat D}}{1} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D}}{{4 + 3 + 2 + 1}} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D}}{{10}}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Mà \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tính chất tổng các góc trong của tứ giác) nên ta có

\(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{4} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{3} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{2} = \frac{{\widehat {\rm{D}}}}{1} = \frac{{\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}}}}{{10}} = \frac{{360^\circ }}{{10}} = 36^\circ \)

\(\widehat {\rm{A}} = 4\,\,.\,\,36^\circ = 144^\circ ;\,\,\widehat {\rm{B}} = 3\,\,.\,\,36^\circ = 108^\circ ;\,\,\widehat {\rm{C}} = 2\,\,.\,\,36^\circ = 72^\circ ;\,\,\widehat {\rm{D}} = 1\,\,.\,\,36^\circ = 36^\circ \)

Nên số đo góc \[\widehat A\,;\,\,\widehat B\,;\,\,\widehat C\,;\,\,\widehat D\] lần lượt là 144°; 108°; 72°; 36°.

Đáp án đúng là: D

Kéo dài đoạn AB và AC ta được lần lượt tia Ax và Ay

Xét tam giác ABC có: \(\widehat {\rm{A}} + \widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCA}}} = 180^\circ \)

Tương đương \(60^\circ + \widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCA}}} = 180^\circ \)

Tương đương \(\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCA}}} = 120^\circ \)

Vì BI là phân giác của \(\widehat {{\rm{ABC}}}\) suy ra \(\widehat {{\rm{CBI}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ABC}}}\)

Vì Cl là phân giác \(\widehat {{\rm{BCA}}}\)suy ra \(\widehat {{\rm{BCI}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BCA}}}\)

Từ đó \(\widehat {{\rm{CBI}}} + \widehat {{\rm{BCI}}} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCA}}}} \right) = \frac{1}{2}\,\,.\,\,120^\circ = 60^\circ \)

Xét tam giác BCI có \(\widehat {{\rm{CBI}}} + \widehat {{\rm{BCI}}} + \widehat {{\rm{BIC}}} = 180^\circ \) nên

\(\widehat {{\rm{BIC}}} = 180^\circ - \left( {\widehat {{\rm{CBI}}} + \widehat {{\rm{BCI}}}} \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Vì BI là phân giác của \(\widehat {{\rm{ABC}}}\) suy ra \(\widehat {{\rm{CBI}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ABC}}}\)

Vì BK là phân giác \(\widehat {{\rm{CBx}}}\) suy ra \(\widehat {{\rm{CBK}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{CBx}}}\)

Suy ra \[\widehat {{\rm{CBK}}} + \widehat {{\rm{CBI}}} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {{\rm{CBX}}} + \widehat {{\rm{ABC}}}} \right) = \frac{1}{2}\,\,.\,\,180^\circ = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {{\rm{IBK}}} = 90^\circ \].

Tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{ICK}}} = 90^\circ \)

Xét tứ giác BICK có \(\widehat {{\rm{BIC}}} + \widehat {{\rm{ICK}}} + \widehat {{\rm{BKC}}} + \widehat {{\rm{IBK}}} = 360^\circ \) (tính chất tổng các góc trong của tứ giác)

Suy ra \(\widehat {{\rm{BKC}}} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Vậy \(\widehat {{\rm{BIC}}} = 120^\circ \,;\,\,\widehat {{\rm{BKC}}} = 60^\circ .\)