(2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M,N\) là các tiếp điểm). Đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(P\) và \(Q\) (\(P\) nằm giữa \(A\) và \(Q\)).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(MN\) với \(OA,I\) là trung điểm của \(AH\). Đường thẳng \(MI\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(J\) (\(J\) khác \(M\)). Chứng minh \(AP.AQ = A{M^2}\) và \(HJ\) vuông góc với \(MI\).
(2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M,N\) là các tiếp điểm). Đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(P\) và \(Q\) (\(P\) nằm giữa \(A\) và \(Q\)).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(MN\) với \(OA,I\) là trung điểm của \(AH\). Đường thẳng \(MI\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(J\) (\(J\) khác \(M\)). Chứng minh \(AP.AQ = A{M^2}\) và \(HJ\) vuông góc với \(MI\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Hà Tĩnh !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Theo tính chất tiếp tuyến thì ta có \(\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \) nên hai điểm \(M,\,\,N\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AO.\)
Như vậy tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AO.\)
Vậy bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(AP.AQ = A{M^2}\):
Xét \(\Delta PAM\) và \(\Delta MAQ\) có \[\widehat {AMQ}\] là góc chung và \[\widehat {AMP} = \widehat {AQM}\]
Suy ra (g.g), nên \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AM}}\), hay \(A{M^2} = AP.AQ\).
*) Chứng minh \(HJ\) vuông góc với \(MI\):
Xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OHM\) có \(\widehat {MOH}\) là góc chung và \(\widehat {OHM} = \widehat {OMA} = 90^\circ \)
Suy ra (g.g).
Dẫn đến \(\frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OA}}\) hay \(\frac{{OH}}{{OP}} = \frac{{OP}}{{OA}} = \frac{{OP - OH}}{{OA - OP}} = \frac{{OP + OH}}{{OA + OP}} = \frac{{OH + OQ}}{{OA + OQ}}\) tức là \(\frac{{HP}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{AQ}}\quad \left( 1 \right).\)
Ta sẽ chứng minh \(I{H^2} = IP.IQ\).
Thật vậy: (1) tương đương \(\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{HP}}\).
Mặt khác: \(\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{IA + IQ}}{{IP + IA}};\quad \frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.\)
Mà \(IA = IH\) nên \(\frac{{IQ + IA}}{{IA + IP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta suy ra được \(\frac{{IH}}{{IP}} = \frac{{IQ}}{{IH}}\), nên \(I{H^2} = IP.IQ\).
Xét \(\Delta IPJ\) và \(\Delta IMQ\) có \(\widehat {MIQ}\) là góc chung và \(\widehat {IPJ} = \widehat {IMQ}\) (Do tứ giác \(PJMQ\) nội tiếp đường tròn)
Suy ra (g.g), dẫn đến \(\frac{{IP}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IQ}}\), hay \(IP.IQ = IM.IJ\).
Từ đây suy ra \(I{H^2} = IM.IJ\), tương đương với \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}\)
Xét \(\Delta IHJ\) và \(\Delta IMH\) có \(\widehat {MIQ}\) là góc chung và \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}\)
Do đó (c.g.c), nên là \(\widehat {IJH} = \widehat {IHM} = 90^\circ \), hay \(HJ \bot MI\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đặt bán kính mặt cầu là \(R = 6\) dm và gọi chiều cao của hình nón là \(h\) (dm) \(\left( {0 \le h \le 2R = 12} \right).\)
Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến tâm của đáy nón là \(\left| {R - h} \right| = \left| {6 - h} \right|\) (dm).
Đặt bán kính đáy là \(r\) (dm), theo định lý Pythagore, ta có:
\({r^2} + {\left| {R - h} \right|^2} = {R^2}\)
\({r^2} + {\left( {6 - h} \right)^2} = {6^2}\)
Suy ra \({\rm{ }}{r^2} = 36 - \left( {{h^2} - 12h + 36} \right) = 12h - {h^2}\)
Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy 3 số vào thể tích hình nón, ta có:
\({V_{non}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}h\left( {12h - {h^2}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\left( {12 - h} \right) \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{h}{2} \le \frac{{4\pi }}{3}{\left( {\frac{{12 - h + \frac{h}{2} + \frac{h}{2}}}{3}} \right)^3} = \frac{{256\pi }}{3}\) (dm3).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(12 - h = \frac{h}{2}\) hay \(h = 8\) (dm).
Vậy thể tích hình nón có giá trị lớn nhất là \(\frac{{256\pi }}{3}\) dm3 khi chiều cao của hình nón là 8 dm.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(3 = a + b + ab \ge ab + 2\sqrt {ab} \) suy ra \(\left( {\sqrt {ab} - 1} \right)\left( {\sqrt {ab} + 3} \right) \le 0\)
Vì \(\sqrt {ab} > 0\) nên \(\sqrt {ab} - 1 \le 0\), hay là \(ab \le 1\).
Khi đó \(a + b = 3 - ab \ge 3 - 1 = 2\), suy ra \({a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{{{2^2}}}{2} = 2\)
\(P = \frac{{2{a^2}{b^2} + 3}}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 3 = \left( {2ab + \frac{2}{{ab}}} \right) + \frac{1}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 3\)
\(\mathop \ge \limits^{BDT{\kern 1pt} {\kern 1pt} Cauchy} {\mkern 1mu} 2.2.\sqrt {ab.\frac{1}{{ab}}} + \frac{1}{1} - \frac{4}{2} + 3\)
\( = 4 + 1 + 3 - 2 = 6.\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 6 khi \(a = b = 1\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Trong tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], tỉ số lượng giác tang của góc \[C\] bằng cạnh đối chia cho cạnh kề.
Do đó, \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập