(2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M,N\) là các tiếp điểm). Đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(P\) và \(Q\) (\(P\) nằm giữa \(A\) và \(Q\)).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(MN\) với \(OA,I\) là trung điểm của \(AH\). Đường thẳng \(MI\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(J\) (\(J\) khác \(M\)). Chứng minh \(AP.AQ = A{M^2}\) và \(HJ\) vuông góc với \(MI\).
(2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M,N\) là các tiếp điểm). Đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(P\) và \(Q\) (\(P\) nằm giữa \(A\) và \(Q\)).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(MN\) với \(OA,I\) là trung điểm của \(AH\). Đường thẳng \(MI\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(J\) (\(J\) khác \(M\)). Chứng minh \(AP.AQ = A{M^2}\) và \(HJ\) vuông góc với \(MI\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Theo tính chất tiếp tuyến thì ta có \(\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \) nên hai điểm \(M,\,\,N\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AO.\)
Như vậy tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AO.\)
Vậy bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(AP.AQ = A{M^2}\):
Xét \(\Delta PAM\) và \(\Delta MAQ\) có \[\widehat {AMQ}\] là góc chung và \[\widehat {AMP} = \widehat {AQM}\]
Suy ra (g.g), nên \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AM}}\), hay \(A{M^2} = AP.AQ\).
*) Chứng minh \(HJ\) vuông góc với \(MI\):
Xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OHM\) có \(\widehat {MOH}\) là góc chung và \(\widehat {OHM} = \widehat {OMA} = 90^\circ \)
Suy ra (g.g).
Dẫn đến \(\frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OA}}\) hay \(\frac{{OH}}{{OP}} = \frac{{OP}}{{OA}} = \frac{{OP - OH}}{{OA - OP}} = \frac{{OP + OH}}{{OA + OP}} = \frac{{OH + OQ}}{{OA + OQ}}\) tức là \(\frac{{HP}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{AQ}}\quad \left( 1 \right).\)
Ta sẽ chứng minh \(I{H^2} = IP.IQ\).
Thật vậy: (1) tương đương \(\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{HP}}\).
Mặt khác: \(\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{IA + IQ}}{{IP + IA}};\quad \frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.\)
Mà \(IA = IH\) nên \(\frac{{IQ + IA}}{{IA + IP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta suy ra được \(\frac{{IH}}{{IP}} = \frac{{IQ}}{{IH}}\), nên \(I{H^2} = IP.IQ\).
Xét \(\Delta IPJ\) và \(\Delta IMQ\) có \(\widehat {MIQ}\) là góc chung và \(\widehat {IPJ} = \widehat {IMQ}\) (Do tứ giác \(PJMQ\) nội tiếp đường tròn)
Suy ra (g.g), dẫn đến \(\frac{{IP}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IQ}}\), hay \(IP.IQ = IM.IJ\).
Từ đây suy ra \(I{H^2} = IM.IJ\), tương đương với \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}\)
Xét \(\Delta IHJ\) và \(\Delta IMH\) có \(\widehat {MIQ}\) là góc chung và \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}\)
Do đó (c.g.c), nên là \(\widehat {IJH} = \widehat {IHM} = 90^\circ \), hay \(HJ \bot MI\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xét phương trình \({x^2} - 3x - 6 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.\left( { - 6} \right) = 9 + 24 = 33 > 0\).
nên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 6}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\(T = \frac{{2{x_1}}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{2{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{2{x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + 2{x_2}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{2x_1^2 + 2{x_1} + 2x_2^2 + 2{x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\\ = \frac{{2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\\ = \frac{{2 \cdot {3^2} - 4\left( { - 6} \right) + 2 \cdot 3}}{{ - 6 + 3 + 1}} = \frac{{48}}{{ - 2}} = - 24.\end{array}\)
Vậy \(T = - 24\).
Lời giải
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 6}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\), tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 6}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\), hay là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x = 10}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\)
Hay ta có \(x = 2\). Thay vào \(x + 2y = 4\) thì \(2 + 2y = 4\), dẫn đến \(y = 1\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập