(1,0 điểm) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 3}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\).

Xét phương trình \({x^2} - 3x - 6 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.\left( { - 6} \right) = 9 + 24 = 33 > 0\).

nên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 6}\end{array}} \right.\)

Khi đó

\(T = \frac{{2{x_1}}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{2{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{2{x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + 2{x_2}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{2x_1^2 + 2{x_1} + 2x_2^2 + 2{x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\\ = \frac{{2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\\ = \frac{{2 \cdot {3^2} - 4\left( { - 6} \right) + 2 \cdot 3}}{{ - 6 + 3 + 1}} = \frac{{48}}{{ - 2}} = - 24.\end{array}\)

Vậy \(T = - 24\).

a) Theo tính chất tiếp tuyến thì ta có \(\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \) nên hai điểm \(M,\,\,N\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AO.\)

Như vậy tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AO.\)

Vậy bốn điểm \(A,M,O,N\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(AP.AQ = A{M^2}\):

Xét \(\Delta PAM\) và \(\Delta MAQ\) có \[\widehat {AMQ}\] là góc chung và \[\widehat {AMP} = \widehat {AQM}\]

Suy ra $\Delta PAM\backsim \Delta MAQ$ (g.g), nên \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AM}}\), hay \(A{M^2} = AP.AQ\).

*) Chứng minh \(HJ\) vuông góc với \(MI\):

Xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OHM\) có \(\widehat {MOH}\) là góc chung và \(\widehat {OHM} = \widehat {OMA} = 90^\circ \)

Suy ra $\Delta OMA\backsim \Delta OHM$ (g.g).

Dẫn đến \(\frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OA}}\) hay \(\frac{{OH}}{{OP}} = \frac{{OP}}{{OA}} = \frac{{OP - OH}}{{OA - OP}} = \frac{{OP + OH}}{{OA + OP}} = \frac{{OH + OQ}}{{OA + OQ}}\) tức là \(\frac{{HP}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{AQ}}\quad \left( 1 \right).\)

Ta sẽ chứng minh \(I{H^2} = IP.IQ\).

Thật vậy: (1) tương đương \(\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{HP}}\).

Mặt khác: \(\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{IA + IQ}}{{IP + IA}};\quad \frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.\)

Mà \(IA = IH\) nên \(\frac{{IQ + IA}}{{IA + IP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta suy ra được \(\frac{{IH}}{{IP}} = \frac{{IQ}}{{IH}}\), nên \(I{H^2} = IP.IQ\).

Xét \(\Delta IPJ\) và \(\Delta IMQ\) có \(\widehat {MIQ}\) là góc chung và \(\widehat {IPJ} = \widehat {IMQ}\) (Do tứ giác \(PJMQ\) nội tiếp đường tròn)

Suy ra $\Delta IPJ\backsim \Delta IMQ$ (g.g), dẫn đến \(\frac{{IP}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IQ}}\), hay \(IP.IQ = IM.IJ\).

Từ đây suy ra \(I{H^2} = IM.IJ\), tương đương với \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}\)

Xét \(\Delta IHJ\) và \(\Delta IMH\) có \(\widehat {MIQ}\) là góc chung và \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}\)

Do đó $\Delta IHJ\backsim \Delta IMH$ (c.g.c), nên là \(\widehat {IJH} = \widehat {IHM} = 90^\circ \), hay \(HJ \bot MI\).