(1,0 điểm)
a) Một hình nón nội tiếp một hình cầu bán kính bằng 6 dm, hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích lớn nhất của hình nón đó.
b) Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b + ab = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2{a^2}{b^2} + 3}}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 3\).
(1,0 điểm)
a) Một hình nón nội tiếp một hình cầu bán kính bằng 6 dm, hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích lớn nhất của hình nón đó.
b) Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b + ab = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2{a^2}{b^2} + 3}}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 3\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đặt bán kính mặt cầu là \(R = 6\) dm và gọi chiều cao của hình nón là \(h\) (dm) \(\left( {0 \le h \le 2R = 12} \right).\)
Khi đó, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến tâm của đáy nón là \(\left| {R - h} \right| = \left| {6 - h} \right|\) (dm).
Đặt bán kính đáy là \(r\) (dm), theo định lý Pythagore, ta có:
\({r^2} + {\left| {R - h} \right|^2} = {R^2}\)
\({r^2} + {\left( {6 - h} \right)^2} = {6^2}\)
Suy ra \({\rm{ }}{r^2} = 36 - \left( {{h^2} - 12h + 36} \right) = 12h - {h^2}\)
Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy 3 số vào thể tích hình nón, ta có:
\({V_{non}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}h\left( {12h - {h^2}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\left( {12 - h} \right) \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{h}{2} \le \frac{{4\pi }}{3}{\left( {\frac{{12 - h + \frac{h}{2} + \frac{h}{2}}}{3}} \right)^3} = \frac{{256\pi }}{3}\) (dm3).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(12 - h = \frac{h}{2}\) hay \(h = 8\) (dm).
Vậy thể tích hình nón có giá trị lớn nhất là \(\frac{{256\pi }}{3}\) dm3 khi chiều cao của hình nón là 8 dm.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(3 = a + b + ab \ge ab + 2\sqrt {ab} \) suy ra \(\left( {\sqrt {ab} - 1} \right)\left( {\sqrt {ab} + 3} \right) \le 0\)
Vì \(\sqrt {ab} > 0\) nên \(\sqrt {ab} - 1 \le 0\), hay là \(ab \le 1\).
Khi đó \(a + b = 3 - ab \ge 3 - 1 = 2\), suy ra \({a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{{{2^2}}}{2} = 2\)
\(P = \frac{{2{a^2}{b^2} + 3}}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 3 = \left( {2ab + \frac{2}{{ab}}} \right) + \frac{1}{{ab}} - \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 3\)
\(\mathop \ge \limits^{BDT{\kern 1pt} {\kern 1pt} Cauchy} {\mkern 1mu} 2.2.\sqrt {ab.\frac{1}{{ab}}} + \frac{1}{1} - \frac{4}{2} + 3\)
\( = 4 + 1 + 3 - 2 = 6.\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 6 khi \(a = b = 1\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xét phương trình \({x^2} - 3x - 6 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.\left( { - 6} \right) = 9 + 24 = 33 > 0\).
nên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 6}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\(T = \frac{{2{x_1}}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{2{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{2{x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + 2{x_2}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{2x_1^2 + 2{x_1} + 2x_2^2 + 2{x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\\ = \frac{{2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\\ = \frac{{2 \cdot {3^2} - 4\left( { - 6} \right) + 2 \cdot 3}}{{ - 6 + 3 + 1}} = \frac{{48}}{{ - 2}} = - 24.\end{array}\)
Vậy \(T = - 24\).
Lời giải
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 6}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\), tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 6}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\), hay là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x = 10}\\{x + 2y = 4}\end{array}} \right.\)
Hay ta có \(x = 2\). Thay vào \(x + 2y = 4\) thì \(2 + 2y = 4\), dẫn đến \(y = 1\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập