(1,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < BC < AC\)) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Ba đường cao \(AM,BN,CP\) của tam giác \(ABC\) đồng quy tại điểm \(H.\) Gọi \(K,I\) tương ứng là trung điểm của đoạn thẳng \(AB,CH.\)
a) Chứng minh rằng, các điểm \(H,M,C,N\) cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh rằng, \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(CH;\)
c) Đường tròn đường kính \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(Q\) (\(Q \ne C\)). Chứng minh rằng, \(HQ \cdot HK = 2HI \cdot HP.\)
(1,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < BC < AC\)) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Ba đường cao \(AM,BN,CP\) của tam giác \(ABC\) đồng quy tại điểm \(H.\) Gọi \(K,I\) tương ứng là trung điểm của đoạn thẳng \(AB,CH.\)
a) Chứng minh rằng, các điểm \(H,M,C,N\) cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh rằng, \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(CH;\)
c) Đường tròn đường kính \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(Q\) (\(Q \ne C\)). Chứng minh rằng, \(HQ \cdot HK = 2HI \cdot HP.\)
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Thái Nguyên !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \(\widehat {HMC} = \widehat {HNC} = 90^\circ \) nên bốn điểm \(H,M,C,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(HC.\)
b) Chứng minh tương tự ý a), ta có bốn điểm \(P,\,\,A,\,\,C,\,\,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC.\)
Do đó tứ giác \[PACM\] nội tiếp đường tròn đường kính \(AC.\)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(PM).\)
Mà \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{C_1}}\) (do \[\Delta MIC\] cân tại \[I\] vì \[IM = IC)\]
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{M_1}}\) (do \[\Delta KAM\] cân tại \[K\] vì \[KA = KM)\]
Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)
Suy ra \(\widehat {{M_2}} + \widehat {HMI} = \widehat {{M_1}} + \widehat {HMI} = 90^\circ \) nên \(KM \bot MI\)
Do đó \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \[I\] đường kính \(CH.\)
c) Kẻ đường kính \[CD\] của đường tròn \(\left( O \right)\).
Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên \[BD\,{\rm{//}}\,AH\] (cùng vuông góc với \[BC),\] tương tự \[AD\,{\rm{//}}\,BH\], do đó \[ADBH\] là hình bình hành có \[K\] là trung điểm của \[AB\] nên cũng là trung điểm của \[DH\]. Suy ra \[D,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.
Lại có \[DQ \bot CQ\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm \[O)\] mà \[HQ \bot CQ\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm \[I)\] nên \[D,{\rm{ }}H,{\rm{ }}Q\] thẳng hàng.
Mà \[D,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\] thẳng hàng nên \[K,{\rm{ }}H,{\rm{ }}Q\] thẳng hàng.
Suy ra nên \(\frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{HC}}{{HA}}\) hay \(\frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{2HI}}{{HA}}\)
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
\(P = 2\sqrt 4 + \sqrt 9 - \sqrt {16} = 2 \cdot 2 + 3 - 4 = 3.\)Lời giải
Gọi số học sinh giỏi và học sinh xuất sắc lần lượt là \(x\) và \(y\) \[(x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*)\].
Ta có \(x + y = 60\% \cdot 45 = 27\).
Số vở học sinh Giỏi được thưởng là \(10x,\) số vở học sinh Xuất sắc được thưởng là \(15y\)
Ta có \(10x + 15y = 300\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 27}\\{10x + 15y = 300}\end{array}} \right.\)
Giải phương trình ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 21}\\{y = 6}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi, học sinh Xuất sắc của lớp 9A lần lượt là 21 học sinh; 6 học sinh.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập