(1,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < BC < AC\)) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Ba đường cao \(AM,BN,CP\) của tam giác \(ABC\) đồng quy tại điểm \(H.\) Gọi \(K,I\) tương ứng là trung điểm của đoạn thẳng \(AB,CH.\)
a) Chứng minh rằng, các điểm \(H,M,C,N\) cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh rằng, \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(CH;\)
c) Đường tròn đường kính \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(Q\) (\(Q \ne C\)). Chứng minh rằng, \(HQ \cdot HK = 2HI \cdot HP.\)
(1,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < BC < AC\)) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Ba đường cao \(AM,BN,CP\) của tam giác \(ABC\) đồng quy tại điểm \(H.\) Gọi \(K,I\) tương ứng là trung điểm của đoạn thẳng \(AB,CH.\)
a) Chứng minh rằng, các điểm \(H,M,C,N\) cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh rằng, \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(CH;\)
c) Đường tròn đường kính \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(Q\) (\(Q \ne C\)). Chứng minh rằng, \(HQ \cdot HK = 2HI \cdot HP.\)
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Thái Nguyên !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \(\widehat {HMC} = \widehat {HNC} = 90^\circ \) nên bốn điểm \(H,M,C,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(HC.\)
b) Chứng minh tương tự ý a), ta có bốn điểm \(P,\,\,A,\,\,C,\,\,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC.\)
Do đó tứ giác \[PACM\] nội tiếp đường tròn đường kính \(AC.\)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(PM).\)
Mà \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{C_1}}\) (do \[\Delta MIC\] cân tại \[I\] vì \[IM = IC)\]
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{M_1}}\) (do \[\Delta KAM\] cân tại \[K\] vì \[KA = KM)\]
Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)
Suy ra \(\widehat {{M_2}} + \widehat {HMI} = \widehat {{M_1}} + \widehat {HMI} = 90^\circ \) nên \(KM \bot MI\)
Do đó \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \[I\] đường kính \(CH.\)
c) Kẻ đường kính \[CD\] của đường tròn \(\left( O \right)\).
Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên \[BD\,{\rm{//}}\,AH\] (cùng vuông góc với \[BC),\] tương tự \[AD\,{\rm{//}}\,BH\], do đó \[ADBH\] là hình bình hành có \[K\] là trung điểm của \[AB\] nên cũng là trung điểm của \[DH\]. Suy ra \[D,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.
Lại có \[DQ \bot CQ\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm \[O)\] mà \[HQ \bot CQ\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm \[I)\] nên \[D,{\rm{ }}H,{\rm{ }}Q\] thẳng hàng.
Mà \[D,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\] thẳng hàng nên \[K,{\rm{ }}H,{\rm{ }}Q\] thẳng hàng.
Suy ra nên \(\frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{HC}}{{HA}}\) hay \(\frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{2HI}}{{HA}}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi số học sinh giỏi và học sinh xuất sắc lần lượt là \(x\) và \(y\) \[(x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*)\].
Ta có \(x + y = 60\% \cdot 45 = 27\).
Số vở học sinh Giỏi được thưởng là \(10x,\) số vở học sinh Xuất sắc được thưởng là \(15y\)
Ta có \(10x + 15y = 300\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 27}\\{10x + 15y = 300}\end{array}} \right.\)
Giải phương trình ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 21}\\{y = 6}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi, học sinh Xuất sắc của lớp 9A lần lượt là 21 học sinh; 6 học sinh.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
a)
a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) có:
\(AB = \frac{{AH}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{2}{{{\rm{sin}}30^\circ }} = 4\) (cm) nên \[AC = 4\] (cm).
\(HB = \frac{{AH}}{{{\rm{tan}}B}} = \frac{2}{{{\rm{tan}}30^\circ }} = 2\sqrt 3 \) (cm).
Vì \[\Delta ABC\]cân có \[AH\] là đường cao đồng thời là trung tuyến nên \[BC = 2BH\] suy ra \(BC = 4\sqrt 3 \) (cm).
b) Chiều cao hình trụ là: 8 cm.
Diện tích xung quanh hình trụ là: 8.18 = 144 (cm2).
Chu vi đáy hình trụ là 18 cm.
Suy ra \(2\pi R = 18\) nên \(R = \frac{{18}}{{2\pi }} = \frac{9}{\pi } \approx 28,27\) (cm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập