(0,5 điểm) Một cốc thủy tinh chứa nước, bên trong có dạng hình trụ với bán kính đáy \(R = 4\) cm. Chiều cao mực nước biển ban đầu bên trong cốc bằng 8 cm. Sau đó người ta thả từ từ một viên bi đặc không ngấm nước có dạng hình cầu bán kính \(r = 3\) cm vào trong cốc sao cho viên bi chìm hoàn toàn trong nước và không tràn ra ngoài. Tính chiều cao theo đơn vị centimet của mực nước trong cốc sau khi thả viên bi.

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = 2{x^2}\) có hệ số \(a = 2 > 0\) nên đồ thị là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ, bề lõm hướng lên trên và nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng. Khẳng định đúng là \(\left( P \right)\) là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ.

Ta thấy \(\frac{1}{{2 - xy}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2 - xy + xy}}{{2 - xy}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{xy}}{{2 - xy}}} \right)\)

Tương tự suy ra \(P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{xy}}{{2 - xy}} + \frac{{yz}}{{2 - yz}} + \frac{{xz}}{{2 - zx}}} \right)\)

Ta có biến đổi: \(2 - xy = \frac{{4 - 2xy}}{2} = \frac{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 2xy}}{2} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2}\)

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) ta có: \(2 - xy \ge \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2}}}{2}\) suy ra \(\frac{1}{{2 - xy}} \le \frac{2}{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2}}}\).

Suy ra \(\frac{{xy}}{{2 - xy}} \le \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2}}} = \frac{{2xy}}{{\left( {{x^2} + {z^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}\).

Áp dụng BĐT AM – GM cho mẫu số: \(\left( {{x^2} + {z^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\sqrt {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} \)

Ta được \(\frac{{xy}}{{2 - xy}} \le \frac{{xy}}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} \cdot \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}}  \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} \right)\)

Chứng minh tương tự với \(\frac{{yz}}{{2 - yz}};\,\,\frac{{xz}}{{2 - zx}}\) rồi cộng theo vế, được:

\[\frac{{xy}}{{2 - xy}} + \frac{{yz}}{{2 - yz}} + \frac{{xz}}{{2 - zx}} \le \frac{1}{2}\left[ {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {x^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + {x^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + {y^2}}}} \right)} \right] = \frac{3}{2}\]

Từ đó, suy ra \(P \le \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \sqrt {\frac{2}{3}} \).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{9}{4}\) khi \(x = y = z = \sqrt {\frac{2}{3}} \).