(2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ đường cao \(BE\) của tam giác \(ABC\) với \(E\) thuộc cạnh \(AC\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ \(E\) đến \(AB\) và \(BC\).

a) Chứng minh tứ giác \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ đường cao \(CQ\) của tam giác \(ABC\) với điểm \(Q\) nằm trên cạnh \(AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EQ\). Chứng minh rằng \(B{E^2} = BK \cdot BC\) và ba điểm \(H,M,K\) thẳng hàng.

a) \(2\sqrt {81}  - 3\sqrt {16}  + 1 = 2 \cdot 9 - 3 \cdot 4 + 1\)\( = 18 - 12 + 1\)\( = 7\).

b) Thay giá trị \(x =  - 1\) vào hàm số, ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = 3 \cdot 1 = 3\).

Thay giá trị \(x = 2\) vào hàm số, ta có: \(f\left( 2 \right) = 3 \cdot {2^2} = 3 \cdot 4 = 12\).

c) Phương trình \({x^2} + 5x - 6 = 0\) có các hệ số \(a = 1\), \(b = 5\), \(c =  - 6\).

Ta thấy \(a + b + c = 1 + 5 + \left( { - 6} \right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm là

\({x_1} = 1\); 6\({x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 6}}{1} =  - 6\).

d) Kí hiệu mặt sấp là S và mặt ngửa là N.

Khi gieo đồng thời hai đồng xu, không gian mẫu (tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra) là:

\(\Omega  = \left\{ {SS;\,\,SN;\,\,NS;\,\,NN} \right\}\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 4\).

Biến cố A: “Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần”. Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

\(A = \left\{ {SN;\,\,NS;\,\,NN} \right\}\).

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là \(n\left( A \right) = 3\).

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{3}{4} = 0,75\).

Gọi giá niêm yết của một món hàng A là \(x\) (nghìn đồng) và một món hàng B là \(y\) (nghìn đồng) với điều kiện \(x > 0,y > 0\).

Giá của một món hàng A sau khi giảm 30% là \(0,7x\) (nghìn đồng).

Giá của một món hàng B sau khi giảm 15% là \(0,85y\) (nghìn đồng).

Vì cô Mai mua 1 món hàng A và 1 món hàng B phải trả số tiền là 381 nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(0,7x + 0,85y = 381\) hay \(14x + 17y = 7620\) (1).

Vào ngày cuối, giá mặt hàng A giảm 35% so với giá niêm yết nên giá bán là \(0,65x\) (nghìn đồng).

Giá mặt hàng B giảm 30% so với giá niêm yết nên giá bán là \(0,7y\) (nghìn đồng).

Vì cô Hoa mua 3 món hàng A và 2 món hàng B phải trả số tiền là 771 nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(3 \cdot 0,65x + 2 \cdot 0,7y = 771\) hay \(1,95x + 1,4y = 771\) tức là \(39x + 28y = 15420\) (2).

Từ (1) và (2), ta lập được hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14x + 17y = 7620}\\{39x + 28y = 15420}\end{array}} \right.\)

Nhân phương trình thứ nhất với 28 và phương trình thứ hai với 17, ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{392x + 476y = 213360}\\{663x + 476y = 262140}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên, ta được:

\(271x = 48780\)

\(x = 180\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay giá trị \(x = 180\) vào phương trình (1), ta có:

\(14 \cdot 180 + 17y = 7620\)

\(2520 + 17y = 7620\)

\(17y = 5100\)

\(y = 300\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá niêm yết của một món hàng A là \(180.000\) đồng và giá niêm yết của một món hàng B là \(300.000\) đồng.