(2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ đường cao \(BE\) của tam giác \(ABC\) với \(E\) thuộc cạnh \(AC\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ \(E\) đến \(AB\) và \(BC\).

a) Chứng minh tứ giác \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ đường cao \(CQ\) của tam giác \(ABC\) với điểm \(Q\) nằm trên cạnh \(AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EQ\). Chứng minh rằng \(B{E^2} = BK \cdot BC\) và ba điểm \(H,M,K\) thẳng hàng.

Gọi giá niêm yết của một món hàng A là \(x\) (nghìn đồng) và một món hàng B là \(y\) (nghìn đồng) với điều kiện \(x > 0,y > 0\).

Giá của một món hàng A sau khi giảm 30% là \(0,7x\) (nghìn đồng).

Giá của một món hàng B sau khi giảm 15% là \(0,85y\) (nghìn đồng).

Vì cô Mai mua 1 món hàng A và 1 món hàng B phải trả số tiền là 381 nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(0,7x + 0,85y = 381\) hay \(14x + 17y = 7620\) (1).

Vào ngày cuối, giá mặt hàng A giảm 35% so với giá niêm yết nên giá bán là \(0,65x\) (nghìn đồng).

Giá mặt hàng B giảm 30% so với giá niêm yết nên giá bán là \(0,7y\) (nghìn đồng).

Vì cô Hoa mua 3 món hàng A và 2 món hàng B phải trả số tiền là 771 nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(3 \cdot 0,65x + 2 \cdot 0,7y = 771\) hay \(1,95x + 1,4y = 771\) tức là \(39x + 28y = 15420\) (2).

Từ (1) và (2), ta lập được hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14x + 17y = 7620}\\{39x + 28y = 15420}\end{array}} \right.\)

Nhân phương trình thứ nhất với 28 và phương trình thứ hai với 17, ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{392x + 476y = 213360}\\{663x + 476y = 262140}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên, ta được:

\(271x = 48780\)

\(x = 180\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay giá trị \(x = 180\) vào phương trình (1), ta có:

\(14 \cdot 180 + 17y = 7620\)

\(2520 + 17y = 7620\)

\(17y = 5100\)

\(y = 300\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá niêm yết của một món hàng A là \(180.000\) đồng và giá niêm yết của một món hàng B là \(300.000\) đồng.

a)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}\) và \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}\).

b) Diện tích mặt cầu có bán kính \(R = 20{\rm{ cm}}\) là:

\(S = 4\pi {R^2} = 4 \cdot \pi  \cdot {20^2} \approx 4 \cdot 3,14 \cdot 400 = 5024{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Thể tích hình cầu có bán kính \(R = 20{\rm{ cm}}\) là:

\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {20^3} \approx \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 8000 = \frac{{100480}}{3} \approx 33493,33{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).