(1,0 điểm) Cho phương trình \(5{x^2} - 2x - m = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(P = \sqrt {m + 2{x_1} - x_1^2} + \sqrt {m + 2{x_2} - x_2^2} \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi giá niêm yết của một món hàng A là \(x\) (nghìn đồng) và một món hàng B là \(y\) (nghìn đồng) với điều kiện \(x > 0,y > 0\).

Giá của một món hàng A sau khi giảm 30% là \(0,7x\) (nghìn đồng).

Giá của một món hàng B sau khi giảm 15% là \(0,85y\) (nghìn đồng).

Vì cô Mai mua 1 món hàng A và 1 món hàng B phải trả số tiền là 381 nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(0,7x + 0,85y = 381\) hay \(14x + 17y = 7620\) (1).

Vào ngày cuối, giá mặt hàng A giảm 35% so với giá niêm yết nên giá bán là \(0,65x\) (nghìn đồng).

Giá mặt hàng B giảm 30% so với giá niêm yết nên giá bán là \(0,7y\) (nghìn đồng).

Vì cô Hoa mua 3 món hàng A và 2 món hàng B phải trả số tiền là 771 nghìn đồng, nên ta có phương trình:

\(3 \cdot 0,65x + 2 \cdot 0,7y = 771\) hay \(1,95x + 1,4y = 771\) tức là \(39x + 28y = 15420\) (2).

Từ (1) và (2), ta lập được hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14x + 17y = 7620}\\{39x + 28y = 15420}\end{array}} \right.\)

Nhân phương trình thứ nhất với 28 và phương trình thứ hai với 17, ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{392x + 476y = 213360}\\{663x + 476y = 262140}\end{array}} \right.\)

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên, ta được:

\(271x = 48780\)

\(x = 180\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay giá trị \(x = 180\) vào phương trình (1), ta có:

\(14 \cdot 180 + 17y = 7620\)

\(2520 + 17y = 7620\)

\(17y = 5100\)

\(y = 300\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá niêm yết của một món hàng A là \(180.000\) đồng và giá niêm yết của một món hàng B là \(300.000\) đồng.

a)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}\) và \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}\).

b) Diện tích mặt cầu có bán kính \(R = 20{\rm{ cm}}\) là:

\(S = 4\pi {R^2} = 4 \cdot \pi  \cdot {20^2} \approx 4 \cdot 3,14 \cdot 400 = 5024{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Thể tích hình cầu có bán kính \(R = 20{\rm{ cm}}\) là:

\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {20^3} \approx \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 8000 = \frac{{100480}}{3} \approx 33493,33{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).