Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(J\) là trung điểm \(SD\).
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: Đúng – Sai – Sai.
Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AB\).
Vì tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SI \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) nên phát biểu thứ nhất đúng.
Ta có: \(\frac{{d\left( {J,\left( {ACD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{1}{2}\) và \({S_{ACD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\).
\( \Rightarrow {V_{ACDJ}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)nên phát biểu thứ hai sai.
Ta có: \(d\left( {D,\left( {ACJ} \right)} \right) = \frac{{3{V_{ACDJ}}}}{{{S_{ACJ}}}}\).
\({\rm{\Delta }}BCI\) vuông tại \(B\) có: \(C{I^2} = C{B^2} + B{I^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\).
\({\rm{\Delta }}SIC\) vuông tại \(I\) có: \(S{C^2} = S{I^2} + I{C^2} = \frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{4} = 2{a^2}\).
\({\rm{\Delta }}SID\) vuông tại \(I\) có: \(S{D^2} = S{I^2} + I{D^2} = 2{a^2}\).
\({\rm{\Delta }}SCD\) có \(CJ\) là đường trung tuyến nên \(C{J^2} = \frac{{S{C^2} + C{D^2}}}{2} - \frac{{S{D^2}}}{4} = {a^2}\).
\({\rm{\Delta }}SAD\) cân tại \(A\left( {do\,\,SA = AD = a} \right)\) nên \(AJ\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
\( \Rightarrow A{J^2} = A{D^2} - D{J^2} = A{D^2} - {\left( {\frac{{SD}}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Xét \(\Delta AJC\) có \({\rm{cos}}A = \frac{{A{J^2} + A{C^2} - C{J^2}}}{{2AJ \cdot AC}} = \frac{3}{4}\).
\( \Rightarrow {\rm{sin}}\widehat {JAC} = \frac{{\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow {S_{AJC}} = \frac{1}{2}AJ \cdot AC \cdot {\rm{sin}}\widehat {JAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8}\).
\( \Rightarrow d\left( {D,\left( {ACJ} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\) nên phát biểu thứ ba sai.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: \(2\).
Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \((0 < x < 60)\).
Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(60 - x\).
Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\).
\({S_1} = \pi \cdot {r^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\)
Diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}\).
Tổng diện tích hai hình: \(S = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}\)\( = \frac{{\left( {4 + \pi } \right){x^2} - 120\pi x + 3600\pi }}{{16\pi }}\)
Đạo hàm: \(S' = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).x - 60\pi }}{{8\pi }};S' = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }};S'' = \frac{{4 + \pi }}{{8\pi }} > 0\).
Suy ra hàm \({\rm{S}}\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)
Do đó \({\rm{S}}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)
Với \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)\( \Rightarrow r = \frac{{30}}{{\left( {4 + \pi } \right)}}\)\( \Rightarrow a = \frac{{60 - x}}{4} = \frac{{60}}{{\left( {4 + \pi } \right)}}\)\( \Rightarrow \frac{a}{r} = 2\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: 1000.
Tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai vị trí \(A,B\) là \(T = MA + MB\).
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của \(T\).
Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(A'B'\)
Khi đó: \(T = MA + MB = M{A_1} + MB \ge {A_1}B\). Dấu "=" xảy ra khi \(M = {A_1}B \cap A'B'\).
Suy ra GTNN của \(T\) bằng \({A_1}B\).
Đường thẳng đi qua \({A_1}\) vuông góc với \(BB'\) và cắt \(BB'\) tại \({B_1}\).
Dễ thấy tứ giác \(A'{A_1}{B_1}B'\) là hình chữ nhật từ đó ta tính được:
\({A_1}{B_1} = 2200m,B'{B_1} = A'{A_1} = AA' = 500m,B{B_1} = B'{B_1} + BB' = 1100m\)
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \({A_1}{B_1}B\), ta có:
\({A_1}B = \sqrt {{A_1}{B_1}{\;^2} + B{B_1}{\;^2}} = \sqrt {{{2200}^2} + {{1100}^2}} = 1100\sqrt 5 \left( m \right)\).
Suy ra \(a = 1100,b = 5\).
Vậy \(a - 20b = 1100 - 20 \cdot 5 = 1000\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Số phần tử của không gian mẫu là 400.
Xác suất để sinh viên \(A\) rút được câu từ hộp thứ nhất là \(\frac{2}{3}\).
Xác suất để sinh viên \(A\) rút được câu thuộc từ hộp thứ nhất là \(\frac{1}{4}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(\frac{8}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
\(\frac{{22}}{3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\(T = \frac{1}{3}\).
\(T = \frac{2}{3}\).
\(T = \frac{1}{2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập