Giới hạn \(L = {\rm{lim}}{2^n}\) bằng

Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành 2 đoạn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất thì tỉ số \(\frac{a}{r}\) bằng

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cả hai xã \(A,B\) cùng ở một bên bờ sông Cấm, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA' = 500{\rm{\;m}},BB' = 600{\rm{\;m}}\) và người ta đo được \(A'B' = 2200{\rm{\;m}}\) (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Cấm cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \(A'B'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó có dạng \(a\sqrt b \left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Giá trị \(a - 20b\) bằng _____.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Thể tích lượng nước trong cốc là ____ cm³.

Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 20 phiếu và hộp thứ hai có 10 phiếu. Sinh viên \(A\) đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho sinh viên \(A\) rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà thầy giáo đã rút. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(J\) là trung điểm \(SD\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho số thực \(a\) và hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x}&{{\rm{khi\;}}x \le 1}\\{a\left( {x - 2{x^2}} \right)}&{{\rm{khi\;}}x > 1}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{dx}}} \).

Cho hình chóp S.ABC có \(G\) là trọng tâm tam giác ABC và \(M\) là trung điểm của đoạn SG. Biết \(\overrightarrow {SM} = x\overrightarrow {SA} + y\overrightarrow {SB} + z\overrightarrow {SC} \). Tính \(T = x + 2y\).