Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {1; - 3; - 5} \right)\), \(C\left( {3; - 4; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 5 = 0\). Xét các đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\) và tạo với đường thẳng \(BC\) một góc \(45^\circ \). Gọi \(M\) là giao điểm của \(\Delta \) với \((P)\). Khi \(BM\) lớn nhất, \(\Delta \) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;a;b} \right)\). Giá trị của \({a^2} + {b^2}\) bằng __.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: 1.
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left( {2; - 1;2} \right) = \overrightarrow {BC} \).
Suy ra \(BC \bot \left( P \right)\).
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khi đó \(d//BC\) suy ra \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).
Gọi \(H = d \cap \left( P \right) \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - t;1 + 2t} \right)\).
Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) - \left( { - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( { - 1;1; - 1} \right)\) và \(AH = 3\).
Ta có \(\left( {\Delta ,BC} \right) = \left( {\Delta ,d} \right) = \widehat {HAM} = 45^\circ \).
Xét tam giác \(AHM\) vuông tại \(H\) có \(MH = AH \cdot \tan 45^\circ = 3\).
Suy ra \(M\) nằm trên đường tròn tâm \(H\) bán kính \(R = MH = 3\).
Ta có \(BM\) lớn nhất khi \(B\), \(H\), \(M\) thẳng hàng và \(H\) ở giữa \(B\),\(M\).
Suy ra \(BM\) đạt lớn nhất khi \(BM = BH + HM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 5} \right)}^2}} + 3 = 9\).
Ta lại có \(2BM = 3BH \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {BH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_M} - 1} \right) = 3 \cdot \left( { - 2} \right)\\2\left( {{y_M} + 3} \right) = 3 \cdot 4\\2\left( {{z_M} + 5} \right) = 3 \cdot 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = - 2\\{y_M} = 3\\{z_M} = 1.\end{array} \right.\).
Suy ra \(M\left( { - 2;3;1} \right)\) và véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {MA} = \left( {3; - 3;0} \right) = 3(1; - 1;0)\).
Vậy \(a = - 1\), \(b = 0\) nên ta được \({a^2} + {b^2} = 1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: 17.
\(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\)
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:\(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x\).
Do \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1 \Leftrightarrow 0 \ge - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge - \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 \ge 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 \ge y \ge \frac{1}{4}\).
Vậy giá trị của hàm số là \(T = \left[ {\frac{1}{4};1} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow S = 17\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: 10; 11.
\(A < \frac{{{2^{2021}}}}{{{3^{1273}}}} < B \Leftrightarrow \log A < 2021 \cdot \log 2 - 1273 \cdot \log 3 < \log B{\rm{ }}\)
Mà: \(2021 \cdot \log 2 - 1273 \cdot \log 3 \approx 1,006\)
\( \Rightarrow \log A < 1,006 < \log B \Rightarrow A < {10^{1,006}} < B \Rightarrow A < 10,139 < B\).
Do A, B là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(A = 10,B = 11\).
Câu 3
\(15{\rm{ m}}.\)
\(10{\rm{ m}}.\)
\(20{\rm{ m}}.\)
\(25{\rm{ m}}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(\left( {4;5} \right)\).
\(\left( {5;6} \right)\).
\(\left( {3;4} \right)\).
\(\left( {6;7} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập