Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow u = (3;2; - 6)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 10 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 2z - 3 = 0\). Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Đáp án: Sai – Đúng – Sai – Đúng.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2; - 1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} - \left( { - 3} \right)} = 3\)nên phát biểu thứ nhất sai.

Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) là: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + \left( { - 6} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{21}}\)

\( \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{{21}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {425} }}{{21}}\) nên phát biểu thứ ba sai.

Góc giữa đường thẳng \(MN\) và \(\left( P \right)\) là \(\alpha \).

\(MN = \frac{{MH}}{{\sin \alpha }} = \frac{{MJ + JH}}{{\sin \alpha }} = \frac{{MJ + d\left( {I,\left( P \right)} \right)}}{{\sin \alpha }}\)

Vì \(\sin \alpha \) và \(d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) cố định nên \(M{N_{\max }} \Leftrightarrow M{J_{\max }} \Leftrightarrow M,I,H\) thẳng hàng.

Đường thẳng \(MH\) qua \(I\) và vuông góc \(\left( P \right)\) có phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).

\(M = MH \cap \left( S \right) \Rightarrow {\left( { - 2 + 2t + 2} \right)^2} + {\left( { - 1 + 2t + 1} \right)^2} + {\left( {1 + t - 1} \right)^2} = 9\).

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{M\left( {0;1;2} \right)}\\{M\left( { - 4; - 3;0} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{MH = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 2}\\{MH = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( { - 4; - 3;0} \right)\).

Vậy \(a - 2b + 3c = - 4 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 0 = 2\) nên phát biểu thứ tư đúng.