(0,5 điểm) Một cửa hàng bán cơm hộp văn phòng có \(3\) loại sản phẩm: cơm gà, cơm bò và cơm cá. Cửa hàng có các thông tin như sau:

– Chi phí nguyên liệu cho mỗi loại cơm gà, cơm bò, cơm cá lần lượt là \(25000\) đồng, \(35000\) đồng và \(20000\) đồng.

– Điều kiện về số lượng hộp cơm làm ra là số hộp cơm gà lớn hơn \(50\) hộp, số hộp cơm bò và số hộp cơm cá đều không ít hơn \(40\) hộp.

– Tổng chi phí nguyên liệu trong ngày không vượt quá \(3500000\) đồng.

– Lợi nhuận thu được trên mỗi hộp cơm gà, cơm bò, cơm cá lần lượt là \(8000\) đồng/hộp, \(10000\) đồng/hộp và \(6000\) đồng/hộp.

Giả sử tất cả số hộp cơm làm ra đều được bán hết trong ngày. Hỏi cửa hàng nên nấu bao nhiêu hộp cơm mỗi loại để lợi nhuận thu được là cao nhất?

1) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác)

Suy ra \(AC = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {ACB}}} = 6:\frac{3}{4} = 8\) (cm).

Lại có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100\) (Định lí Pythagore)

Suy ra \(BC = 10\) (cm) nên \(\tan \widehat {ACB} = \frac{3}{4},\) suy ra \(\widehat {ACB} \approx 37^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}BC.AH\) suy ra \(AH = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) (cm).

2) Ta có \(AK\,{\rm{//}}\,BC,\,\,BD \bot BC\) suy ra \(AK \bot BD\)

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta DBA\) có:

\[\widehat {AKB} = \widehat {BAD} = 90^\circ \,\,\left( {AK \bot DB,\,\,BA \bot AD} \right)\] và \[\widehat {ABD}\] là góc chung

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BD}}\] nên \[BK.BD = A{B^2}\]

Giả sử \(AB\) cắt \(KH\) tại \(O\).

Xét tứ giác \(AKBH\) có: \(\widehat {AKB} = \widehat {KBH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \left( {AK \bot BD;BD \bot BC,AH \bot BC} \right)\) nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra \(AH = BK;\,\,AB = KH;\,\,O\) là trung điểm của \(AB,\,\,KH\)

Từ đó \(OB = OK\) nên \(\Delta OBK\) cân tại \(O\)

Suy ra \(\widehat {BKH} = \widehat {KBA}\), mà \(\widehat {KBA} = \widehat {BCD}\) (cùng phụ với \(\widehat {BDC}\)) nên \(\widehat {BKH} = \widehat {BCD}.\)

3) Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là trung tuyến (\(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\)) nên \(BM = \frac{1}{2}CD = MC\) suy ra \(\Delta BMC\) cân tại \[M.\]

Do đó \(\widehat {MBC} = \widehat C\), mà \(\widehat C = \widehat {BKH}\)  nên \(\widehat {BKH} = \widehat {MBC}\)

Mà \[\widehat {BKH} + \widehat {BHK} = 90^\circ \,\,(\Delta BKH\] vuông tại \(B\))

Suy ra \(\widehat {MBC} + \widehat {BHK} = 90^\circ \) hay \(BI \bot KH\)

Khi đó \(\sin \widehat {BKH} = \frac{{BI}}{{BK}}\) (1)

Lại có: \(\widehat C = \widehat {BAH}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) nên \(\widehat {BKH} = \widehat {BAH}\)

Suy ra \(\cos \widehat {BKH} = \cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\)

Mà \(AH = BK\) nên \(\cos \widehat {BKH} = \frac{{BK}}{{AB}}\) (2)

\(\sin \widehat {BKH} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}};\cos \widehat {BKH} = \cos C = \frac{{BC}}{{DC}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) có \({\left( {\sin \widehat {BKH}.\cos \widehat {BKH}} \right)^2} = {\sin ^2}\widehat {BKH}.{\cos ^2}\widehat {BKH} = \frac{{BI}}{{BK}}.\frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{BK}}{{AB}}.\frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{BI}}{{DC}}\).

Gọi số điểm đợt bắn cuối là \(x\) điểm thì \(0 \le x \le 10\).

Tổng số điểm bắn lượt \(1\) và \(2\) là: \(9,5 + 7,5 = 17\) (điểm).

Tổng số điểm bắn lượt \(3\) và \(4\) là: \(\left( {8,0 + x} \right).2\) (điểm).

Điểm trung bình của \(4\) lượt bắn là: \(\frac{{17 + \left( {8,0 + x} \right).2}}{6}\)  (điểm).

Theo bài ra ta có bất phương trình là:

                                      \(\begin{array}{l}\frac{{17 + \left( {8,0 + x} \right).2}}{6} \ge 8,5\\17 + 16 + 2x \ge 51\\2x \ge 18\\x \ge 9\end{array}\)

Vậy lần bắn cuối anh Minh phải đạt được ít nhất là \(9\) điểm thì sẽ vượt qua bài thi.