(3,0 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau:

1) \({\left( {x + 2} \right)^2} - x\left( {x - 3} \right) + 10 = 0\).

2) \({\left( {3x - 1} \right)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\).

3) \(\frac{{2x}}{{x + 1}} + \frac{{7{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{3x - 1}}{{x - 1}}\).

4) \(\frac{{x - 3}}{5} + x > \frac{{4x - 2}}{4} - 1\).

1) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác)

Suy ra \(AC = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {ACB}}} = 6:\frac{3}{4} = 8\) (cm).

Lại có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100\) (Định lí Pythagore)

Suy ra \(BC = 10\) (cm) nên \(\tan \widehat {ACB} = \frac{3}{4},\) suy ra \(\widehat {ACB} \approx 37^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}BC.AH\) suy ra \(AH = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) (cm).

2) Ta có \(AK\,{\rm{//}}\,BC,\,\,BD \bot BC\) suy ra \(AK \bot BD\)

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta DBA\) có:

\[\widehat {AKB} = \widehat {BAD} = 90^\circ \,\,\left( {AK \bot DB,\,\,BA \bot AD} \right)\] và \[\widehat {ABD}\] là góc chung

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BD}}\] nên \[BK.BD = A{B^2}\]

Giả sử \(AB\) cắt \(KH\) tại \(O\).

Xét tứ giác \(AKBH\) có: \(\widehat {AKB} = \widehat {KBH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \left( {AK \bot BD;BD \bot BC,AH \bot BC} \right)\) nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra \(AH = BK;\,\,AB = KH;\,\,O\) là trung điểm của \(AB,\,\,KH\)

Từ đó \(OB = OK\) nên \(\Delta OBK\) cân tại \(O\)

Suy ra \(\widehat {BKH} = \widehat {KBA}\), mà \(\widehat {KBA} = \widehat {BCD}\) (cùng phụ với \(\widehat {BDC}\)) nên \(\widehat {BKH} = \widehat {BCD}.\)

3) Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là trung tuyến (\(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\)) nên \(BM = \frac{1}{2}CD = MC\) suy ra \(\Delta BMC\) cân tại \[M.\]

Do đó \(\widehat {MBC} = \widehat C\), mà \(\widehat C = \widehat {BKH}\)  nên \(\widehat {BKH} = \widehat {MBC}\)

Mà \[\widehat {BKH} + \widehat {BHK} = 90^\circ \,\,(\Delta BKH\] vuông tại \(B\))

Suy ra \(\widehat {MBC} + \widehat {BHK} = 90^\circ \) hay \(BI \bot KH\)

Khi đó \(\sin \widehat {BKH} = \frac{{BI}}{{BK}}\) (1)

Lại có: \(\widehat C = \widehat {BAH}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) nên \(\widehat {BKH} = \widehat {BAH}\)

Suy ra \(\cos \widehat {BKH} = \cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\)

Mà \(AH = BK\) nên \(\cos \widehat {BKH} = \frac{{BK}}{{AB}}\) (2)

\(\sin \widehat {BKH} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}};\cos \widehat {BKH} = \cos C = \frac{{BC}}{{DC}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) có \({\left( {\sin \widehat {BKH}.\cos \widehat {BKH}} \right)^2} = {\sin ^2}\widehat {BKH}.{\cos ^2}\widehat {BKH} = \frac{{BI}}{{BK}}.\frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{BK}}{{AB}}.\frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{BI}}{{DC}}\).

Gọi \(x,\,y,\,z\) lần lượt là số hộp cơm gà, cơm bò, cơm cá được bán hết trong ngày (hộp) \(\left( {x,\,y,\,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì điều kiện về số lượng hộp làm ra là số hộp cơm gà lớn hơn \(50\) hộp, số hộp cơm bò và số hộp cơm cá đều không ít hơn \(40\) hộp nên \(x > 50,\,y \ge 40,\,z \ge 40\).

Tổng chi phí nguyên liệu để làm các hộp cơm là \(25x + 35y + 20z\) (nghìn đồng).

Vì tổng chi phí nguyên liệu trong ngày không vượt quá 3500000 đồng nên

\(25x + 35y + 20z \le 3500\).

Lợi nhuận mà cửa hàng thu nhập trong ngày là: \(8x + 10y + 6z\) (nghìn đồng).

Có \(25x + 35y + 20z \le 3500\) nên \(x \le \frac{{3500 - 35y - 20z}}{{25}}\) suy ra \(x \le \frac{{700 - 7y - 4z}}{5}\).

Đặt \(M = 8x + 10y + 6z \le 8\left( {\frac{{700 - 7y - 4z}}{5}} \right) + 10y + 6z\).

Suy ra \(M \le 1120 - \frac{6}{5}y - \frac{2}{5}z\)

Mà \(y \ge 40,\,z \ge 40\) nên \(M \le 1120 - \frac{6}{5} \cdot 40 - \frac{2}{5} \cdot 40 = 1056\) (nghìn đồng).

Dầu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}25x + 35y + 20z = 3500\\y = 40\\z = 40\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 52\\y = 40\\z = 40\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy cửa hàng cần nấu \(52\) loại cơm gà, \(40\) loại cơm bò và \(40\) loại cơm cá để đạt lợi nhuận tối đa.