Hai lớp 9A và 9B có tổng số \(93\) học sinh. Hưởng ứng phong trào “Kế hoạch nhỏ”, mỗi học sinh lớp 9A thu gom được trung bình 3 kg giấy vụn, mỗi học sinh lớp 9B thu gom được trung bình 2 kg giấy vụn. Kết thúc đợt, cả hai lớp đã thu gom được tổng cộng 231 kg giấy vụn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

1) \({\left( {x + 2} \right)^2} - x\left( {x - 3} \right) + 10 = 0\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 3x + 10 = 0\\7x =  - 14\\x =  - 2\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - 2\)

2) \({\left( {3x - 1} \right)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}9{x^2} - 6x + 1 - 3{x^2} - 8x + 3 = 0\\6{x^2} - 14x + 4 = 0\\3{x^2} - 7x + 2 = 0\\3{x^2} - 6x - x + 2 = 0\\3x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\end{array}\)

\(x - 2 = 0\) hoặc \(3x - 1 = 0\)

\(x = 2\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x \in \left\{ {2;\,\,\frac{1}{3}} \right\}.\)

3) \(\frac{{2x}}{{x + 1}} + \frac{{7{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{3x - 1}}{{x - 1}}\)    (ĐK: \(x \ne 1,\,\,x \ne  - 1).\)

\[\frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7{x^2} - 3x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\]

\(2x\left( {x - 1} \right) + \left( {7{x^2} - 3x} \right) = \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

\(2{x^2} - 2x + 7{x^2} - 3x = 3{x^2} + 2x - 1\)

\(6{x^2} - 7x + 1 = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {6x - 1} \right) = 0\)

\(x = 1\) (không thỏa mãn) hoặc \[x = \frac{1}{6}\] (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{6}\).   

4) \(\frac{{x - 3}}{5} + x > \frac{{4x - 2}}{4} - 1\)

\(\begin{array}{l}4x - 12 + 20x > 20x - 10 - 20\\4x >  - 18\\x > \frac{{ - 9}}{2}\end{array}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x > \frac{{ - 9}}{2}\).

1) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác)

Suy ra \(AC = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {ACB}}} = 6:\frac{3}{4} = 8\) (cm).

Lại có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100\) (Định lí Pythagore)

Suy ra \(BC = 10\) (cm) nên \(\tan \widehat {ACB} = \frac{3}{4},\) suy ra \(\widehat {ACB} \approx 37^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}BC.AH\) suy ra \(AH = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) (cm).

2) Ta có \(AK\,{\rm{//}}\,BC,\,\,BD \bot BC\) suy ra \(AK \bot BD\)

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta DBA\) có:

\[\widehat {AKB} = \widehat {BAD} = 90^\circ \,\,\left( {AK \bot DB,\,\,BA \bot AD} \right)\] và \[\widehat {ABD}\] là góc chung

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BD}}\] nên \[BK.BD = A{B^2}\]

Giả sử \(AB\) cắt \(KH\) tại \(O\).

Xét tứ giác \(AKBH\) có: \(\widehat {AKB} = \widehat {KBH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \left( {AK \bot BD;BD \bot BC,AH \bot BC} \right)\) nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra \(AH = BK;\,\,AB = KH;\,\,O\) là trung điểm của \(AB,\,\,KH\)

Từ đó \(OB = OK\) nên \(\Delta OBK\) cân tại \(O\)

Suy ra \(\widehat {BKH} = \widehat {KBA}\), mà \(\widehat {KBA} = \widehat {BCD}\) (cùng phụ với \(\widehat {BDC}\)) nên \(\widehat {BKH} = \widehat {BCD}.\)

3) Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là trung tuyến (\(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\)) nên \(BM = \frac{1}{2}CD = MC\) suy ra \(\Delta BMC\) cân tại \[M.\]

Do đó \(\widehat {MBC} = \widehat C\), mà \(\widehat C = \widehat {BKH}\)  nên \(\widehat {BKH} = \widehat {MBC}\)

Mà \[\widehat {BKH} + \widehat {BHK} = 90^\circ \,\,(\Delta BKH\] vuông tại \(B\))

Suy ra \(\widehat {MBC} + \widehat {BHK} = 90^\circ \) hay \(BI \bot KH\)

Khi đó \(\sin \widehat {BKH} = \frac{{BI}}{{BK}}\) (1)

Lại có: \(\widehat C = \widehat {BAH}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) nên \(\widehat {BKH} = \widehat {BAH}\)

Suy ra \(\cos \widehat {BKH} = \cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\)

Mà \(AH = BK\) nên \(\cos \widehat {BKH} = \frac{{BK}}{{AB}}\) (2)

\(\sin \widehat {BKH} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}};\cos \widehat {BKH} = \cos C = \frac{{BC}}{{DC}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) có \({\left( {\sin \widehat {BKH}.\cos \widehat {BKH}} \right)^2} = {\sin ^2}\widehat {BKH}.{\cos ^2}\widehat {BKH} = \frac{{BI}}{{BK}}.\frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{BK}}{{AB}}.\frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{BI}}{{DC}}\).