Trong một hộp đựng \(15\) thẻ cùng loại được đánh số từ \(1\) đến \(15\), hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên \(1\) thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố \(D\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số”.

(\(0,5\) điểm)

Một rạp chiếu phim có \(120\) ghế, giá vé hiện tại là \(100{\mkern 1mu} \,\,000\) đồng cho mỗi vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi suất chiếu. Ban quản lý rạp phim xem xét việc tăng giá vé để tối ưu hóa doanh thu. Sau khi thử nghiệm, rạp phim nhận thấy cứ mỗi lần tăng giá thêm \(5\) nghìn đồng, số ghế bị bỏ trống sẽ tăng thêm \(4\) ghế. Sau \(x\) lần tăng giá, doanh thu của rạp phim là lớn nhất. Hỏi mức giá vé mới là bao nhiêu thì doanh thu của rạp chiếu phim là lớn nhất?

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 5y =  - 11}\\{ - 3x + 7y = 15}\end{array}} \right.\).                                 

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x - 3}} + \frac{1}{{y + 2}} = 3}\\{\frac{4}{{x - 3}} - \frac{3}{{y + 2}} = 1}\end{array}} \right.\).

Biểu đồ cột ở hình dưới đây biểu diễn sản lượng sản xuất than ở tỉnh Quảng Ninh trong các năm \(2017\); \(2018\); \(2019\); \(2020\).

Tính tổng sản lượng sản xuất than ở tỉnh Quảng Ninh trong các năm \(2017\); \(2018\); \(2019\); \(2020\).

(\(2,0\) điểm)

Cho biểu thức \(A = \frac{{2x - 3}}{x}\) và \(B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{4x}}{{1 - {x^2}}}\) với \(x \ne 0;\,\,x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 6\).

2) Rút gọn biểu thức \(B\).

3) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = A \cdot B\) nhận giá trị nguyên dương.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao \(AD\).

a) Chứng minh $\Delta BDA\backsim \Delta BAC$.

b) Lấy \(M\) là trung điểm của \(BC\). Kẻ \(BE\) vuông góc với \(AM\) tại \(E\) cắt \(AC\) ở \(N\). Chứng minh \(\widehat {BAE} = \widehat {BNA}\) và \(BD \cdot BC = BE \cdot BN\).

c) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE\). Đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(AM\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh đường thẳng \(CH\) đi qua trung điểm đoạn thẳng \(AK\).

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Để đánh bắt đủ lượng cá theo kế hoạch, một hợp tác xã dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được \(20\) tấn cá. Nhưng do đánh bắt được vượt mức \(6\) tấn cá/tuần nên chẳng những hợp tác xã đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn \(1\) tuần mà còn vượt mức đã dự định là \(10\) tấn cá. Tính lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch của hợp tác xã đó.