Để chuẩn bị cho lễ khai giảng, hai nhóm học sinh cùng nhau trang trí sân trường. Nếu cả hai nhóm cùng làm thì sau \(15{\rm{\;ng\`a y}}\) sẽ hoàn thành công việc. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được \(12{\rm{\;ng\`a y}}\) thì nhóm một được phân công chuyển sang thực hiện nhiệm vụ khác, nhóm hai tiếp tục làm một mình trong \(8{\rm{\;ng\`a y}}\) nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi nhóm cần bao nhiêu ngày để hoàn thành toàn bộ công việc?

Kẻ đường cao \(AH\) từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\) \(\left( {H \in BC} \right)\).

    Trong tam giác vuông \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(AH = AC \cdot \sin C\) và \(HC = AC \cdot \cos C\).

Ta có: \(HB = BC - HC = BC - AC \cdot \cos C\)

Áp dụng định lý Pythagore cho \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

\(A{B^2} = {\left( {AC \cdot \sin C} \right)^2} + {\left( {BC - AC \cdot \cos C} \right)^2}\)

\(A{B^2} = A{C^2} \cdot {\sin ^2}C + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C + A{C^2} \cdot {\cos ^2}C\)

\(A{B^2} = A{C^2}\left( {{{\sin }^2}C + {{\cos }^2}C} \right) + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\)

Vì \({\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1\) (chứng minh ở Bài 2a), ta thu được công thức:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\) (đpcm).

Thay các giá trị \(AC = 70\) km, \(BC = 100\) km, \(\widehat {C\,} = 60^\circ \) vào công thức vừa chứng minh, ta được:

\(A{B^2} = {70^2} + {100^2} - 2 \cdot 70 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ \)

\(A{B^2} = 4900 + 10000 - 14000 \cdot 0,5\)

\(A{B^2} = 14900 - 7000 = 7900\)

\(AB = \sqrt {7900}  = 10\sqrt {79} \) km.

Quãng đường đi theo lộ trình cũ (qua tỉnh \(C\)) là:

\({S_1} = AC + CB = 70 + 100 = 170\) (km).

Lượng nhiên liệu tiêu thụ theo đường cũ là: \(\frac{{170}}{{20}} = 8,5\) (lít).

Quãng đường đi theo đường hầm xuyên núi \(\left( {AB} \right)\) là: \({S_2} = 10\sqrt {79} \) (km).

Lượng nhiên liệu tiêu thụ theo đường hầm là: \(\frac{{10\sqrt {79} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\) (lít).

Lượng nhiên liệu tiết kiệm được là:

\({\rm{\Delta }}N = 8,5 - \frac{{\sqrt {79} }}{2} \approx 8,5 - 4,444 = 4,056\) (lít).

Đổi: \(24\) phút \( = \frac{2}{5}\) giờ.

Gọi quãng đường từ kho A đến kho B là \(x\) (km) \(\left( {x > 0} \right)\).

Vận tốc lúc đi là: \({v_1} = 50\) (km/h).

Thời gian lúc đi là: \({t_1} = \frac{x}{{50}}\) (giờ).

Vận tốc lúc về là: \({v_2} = 50 + 10 = 60\) (km/h).

Thời gian về là: \({t_2} = \frac{x}{{60}}\) (giờ).

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi \(24{\rm{\;ph\'u t}}\) (\(\frac{2}{5}\) giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{50}} - \frac{x}{{60}} = \frac{2}{5}\)

\(x \cdot \left( {\frac{1}{{50}} - \frac{1}{{60}}} \right) = \frac{2}{5}\)

\(x \cdot \frac{1}{{300}} = \frac{2}{5}\)

\(x = \frac{2}{5} \cdot 300 = 120\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường từ kho A đến kho B dài \(120{\rm{\;km}}\).