Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ \(A\) để đi đến \(B\) với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường \(AB\) dài \(280\) km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là \(30\) km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy \(3\) giờ. Tính vận tốc xe máy.

Gọi vận tốc dự định của xe máy là \(x\) (km/h) và thời gian dự định là \(y\) (giờ).

Điều kiện: \(x > 15,\,\,y > 1\).

Quãng đường \(AB\) là \(xy\) (km).

Nếu tăng vận tốc thêm \(15{\rm{\;km/h}}\) thì đến sớm hơn \(1\) giờ nên  ta có:

\(\left( {x + 15} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\) suy ra \( - x + 15y = 15\) (1).

Nếu giảm vận tốc đi \(15{\rm{\;km/h}}\) thì đến chậm hơn \(2\) giờ nên ta có:

\(\left( {x - 15} \right)\left( {y + 2} \right) = xy\) suy ra \(2x - 15y = 30\) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + 15y = 15}\\{2x - 15y = 30}\end{array}} \right.\).

Cộng vế theo vế của hệ ta được \(x = 45\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 45\) vào phương trình \( - x + 15y = 15\) ta được:

\( - 45 + 15y = 15\) suy ra \(15y = 60\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường \(AB\) dài \(45 \cdot 4 = 180{\rm{\;km}}\).

a)

Vì \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) và \(AB = BC\) nên \(BE = CF\).

Xét \({\rm{\Delta }}BEC\) và \({\rm{\Delta }}CFD\) có: \(BE = CF\), \(\widehat {EBC} = \widehat {FCD} = 90^\circ \) và \(BC = CD\).

Do đó \({\rm{\Delta }}BEC = {\rm{\Delta }}CFD\) (c.g.c), suy ra \(\widehat {BCE} = \widehat {CDF}\).

Mà \(\widehat {CDF} + \widehat {CFD} = 90^\circ \) (vì \({\rm{\Delta }}CFD\) vuông tại \(C\)) nên \(\widehat {BCE} + \widehat {CFD} = 90^\circ \), hay \(\widehat {MCF} + \widehat {MFC} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {CMF} = 90^\circ \).

Vậy \(CE \bot DF\).

b) Xét \({\rm{\Delta }}DMC\) và \({\rm{\Delta }}DCF\) có: \(\widehat {DMC} = \widehat {DCF} = 90^\circ \) và \(\widehat {CDF}\) chung.

Do đó $\text{Δ}DMC\backsim \text{Δ}DCF$ (g.g), suy ra \(\frac{{DM}}{{DC}} = \frac{{DC}}{{DF}}\) hay \(C{D^2} = DM \cdot DF\).

Xét \({\rm{\Delta }}CMF\) và \({\rm{\Delta }}CBE\) có: \(\widehat {CMF} = \widehat {CBE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BCE}\) chung.

Do đó $\text{Δ}CMF\backsim \text{Δ}CBE$ (g.g), suy ra \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{CE}}\) hay \(CM \cdot CE = CB \cdot CF\).

Suy ra \(\frac{{CM \cdot CE}}{{CF}} = CB = AB\).

c)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), \(H\) là giao điểm của \(AI\) và \(DM\).

Ta có \(AE\,{\rm{//}}\,IC\) và \(AE = IC = \frac{{AB}}{2}\) nên tứ giác \(AECI\) là hình bình hành, suy ra \(AI\,{\rm{//}}\,CE\).

Trong \({\rm{\Delta }}DMC\) có \(I\) là trung điểm của \(DC\) và \(IH\,{\rm{//}}\,CM\) nên \(H\) là trung điểm của \(DM\).

Mặt khác \(AI\,{\rm{//}}\,CE\) và \(CE \bot DF\) nên \(AH \bot DM\).

Do đó \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}MAD\), suy ra \({\rm{\Delta }}MAD\) cân tại \(A\).