Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,BC\). \(M\) là giao điểm của \(CE\) và \(DF\).
a) Chứng minh \(\Delta BEC = \Delta CFD\), từ đó chứng minh \(CE\) vuông góc với \(DF\).
b) Chứng minh \(C{D^2} = DM \cdot DF\) và \(\frac{{CM \cdot CE}}{{CF}} = AB\).
c) Chứng minh \(\Delta MAD\) cân.
Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,BC\). \(M\) là giao điểm của \(CE\) và \(DF\).
a) Chứng minh \(\Delta BEC = \Delta CFD\), từ đó chứng minh \(CE\) vuông góc với \(DF\).
b) Chứng minh \(C{D^2} = DM \cdot DF\) và \(\frac{{CM \cdot CE}}{{CF}} = AB\).
c) Chứng minh \(\Delta MAD\) cân.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)
Vì \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) và \(AB = BC\) nên \(BE = CF\).
Xét \({\rm{\Delta }}BEC\) và \({\rm{\Delta }}CFD\) có: \(BE = CF\), \(\widehat {EBC} = \widehat {FCD} = 90^\circ \) và \(BC = CD\).
Do đó \({\rm{\Delta }}BEC = {\rm{\Delta }}CFD\) (c.g.c), suy ra \(\widehat {BCE} = \widehat {CDF}\).
Mà \(\widehat {CDF} + \widehat {CFD} = 90^\circ \) (vì \({\rm{\Delta }}CFD\) vuông tại \(C\)) nên \(\widehat {BCE} + \widehat {CFD} = 90^\circ \), hay \(\widehat {MCF} + \widehat {MFC} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {CMF} = 90^\circ \).
Vậy \(CE \bot DF\).
b) Xét \({\rm{\Delta }}DMC\) và \({\rm{\Delta }}DCF\) có: \(\widehat {DMC} = \widehat {DCF} = 90^\circ \) và \(\widehat {CDF}\) chung.
Do đó (g.g), suy ra \(\frac{{DM}}{{DC}} = \frac{{DC}}{{DF}}\) hay \(C{D^2} = DM \cdot DF\).
Xét \({\rm{\Delta }}CMF\) và \({\rm{\Delta }}CBE\) có: \(\widehat {CMF} = \widehat {CBE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BCE}\) chung.
Do đó (g.g), suy ra \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{CE}}\) hay \(CM \cdot CE = CB \cdot CF\).
Suy ra \(\frac{{CM \cdot CE}}{{CF}} = CB = AB\).
c)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), \(H\) là giao điểm của \(AI\) và \(DM\).
Ta có \(AE\,{\rm{//}}\,IC\) và \(AE = IC = \frac{{AB}}{2}\) nên tứ giác \(AECI\) là hình bình hành, suy ra \(AI\,{\rm{//}}\,CE\).
Trong \({\rm{\Delta }}DMC\) có \(I\) là trung điểm của \(DC\) và \(IH\,{\rm{//}}\,CM\) nên \(H\) là trung điểm của \(DM\).
Mặt khác \(AI\,{\rm{//}}\,CE\) và \(CE \bot DF\) nên \(AH \bot DM\).
Do đó \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}MAD\), suy ra \({\rm{\Delta }}MAD\) cân tại \(A\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi vận tốc dự định của xe máy là \(x\) (km/h) và thời gian dự định là \(y\) (giờ).
Điều kiện: \(x > 15,\,\,y > 1\).
Quãng đường \(AB\) là \(xy\) (km).
Nếu tăng vận tốc thêm \(15{\rm{\;km/h}}\) thì đến sớm hơn \(1\) giờ nên ta có:
\(\left( {x + 15} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\) suy ra \( - x + 15y = 15\) (1).
Nếu giảm vận tốc đi \(15{\rm{\;km/h}}\) thì đến chậm hơn \(2\) giờ nên ta có:
\(\left( {x - 15} \right)\left( {y + 2} \right) = xy\) suy ra \(2x - 15y = 30\) (2).
Từ (1) và (2), ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + 15y = 15}\\{2x - 15y = 30}\end{array}} \right.\).
Cộng vế theo vế của hệ ta được \(x = 45\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 45\) vào phương trình \( - x + 15y = 15\) ta được:
\( - 45 + 15y = 15\) suy ra \(15y = 60\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn).
Vậy quãng đường \(AB\) dài \(45 \cdot 4 = 180{\rm{\;km}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi vận tốc xe máy là \(x\) (km/h), điều kiện \(x > 0\).
Vận tốc ô tô là \(x + 30\) (km/h).
Thời gian xe máy đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{{280}}{x}\) (giờ).
Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{{280}}{{x + 30}}\) (giờ).
Vì ô tô đến sớm hơn xe máy \(3\) giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{{280}}{x} - \frac{{280}}{{x + 30}} = 3\).
\(280\left( {x + 30} \right) - 280x = 3x\left( {x + 30} \right)\)
\(8400 = 3{x^2} + 90x\)
\({x^2} + 30x = 2800\)
\({x^2} + 30x + 225 = 3025\)
\({\left( {x + 15} \right)^2} = {55^2}\)
\(\left( {x + 15 - 55} \right)\left( {x + 15 + 55} \right) = 0\)
\(\left( {x - 40} \right)\left( {x + 70} \right) = 0\).
Trường hợp 1: \(x - 40 = 0\) suy ra \(x = 40\) (thỏa mãn).
Trường hợp 2: \(x + 70 = 0\) suy ra \(x = - 70\) (loại).
Vậy vận tốc xe máy là \(40{\rm{\;km/h}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập