Người ta cần làm một khay chứa thóc cho máy xát gạo có dạng hình chóp đều bằng cách cắt mảnh tôn hình vuông cạnh \(1,5\) m theo các tam giác cân \(AEB,\,\,BFC,\,\,CGD,\,\,DHA\) và sau đó gò các tam giác \(AEH,\,\,BEF,\,\,CFG,\,\,DGH\) sao cho bốn đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) trùng nhau tạo thành khối chóp. Đặt \(HG = x\).

Gọi \(E\) là đầu mút đáy của tam giác cân nằm trên cạnh \(AB\), gần \(A\).

Đặt \(AE = x\), với \(0 < x < 2\).

Khi đó cạnh đáy của mỗi tam giác cân bằng \(4 - 2x\).

Do bốn tam giác là các tam giác vuông cân có cạnh đáy nằm trên cạnh của hình vuông lớn, chiều cao ứng với cạnh đáy là \(2 - x\).

Tổng diện tích của bốn tam giác cân là \(4 \cdot \frac{1}{2}\left( {4 - 2x} \right)\left( {2 - x} \right) = {\left( {4 - 2x} \right)^2}\).

Cạnh của hình vuông ở giữa bằng \(x\sqrt 2 \), nên diện tích của nó là \({\left( {x\sqrt 2 } \right)^2} = 2{x^2}\).

Tổng diện tích là: \(S\left( x \right) = 6{x^2} - 16x + 16\).

Biến đổi hoàn thành bình phương: \(S\left( x \right) = 6{\left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{{16}}{3} \ge \frac{{16}}{3}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{4}{3} \in \left( {0;\,\,2} \right)\).

Vậy diện tích nhỏ nhất là \(\frac{{16}}{3} \approx 5,33\).

Đáp án: 5,33.

Đáp án: a) Đúng. \(\quad \)         b) Đúng. \(\quad \)      c) Sai. \(\quad \) d) Đúng.

a) Đúng. Số phần tử của không gian mẫu chọn 6 học sinh từ \(4 + 5 + 6 = 15\) học sinh là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{15}^6 = 5005\).

b) Đúng. Vì khối 12 có 4 học sinh và khối 11 có 5 học sinh nên để chọn được 6 học sinh cùng một khối thì chỉ có thể chọn từ 6 học sinh khối 10.

Số cách chọn là \(C_6^6 = 1\).

Xác suất là \(\frac{1}{{5005}}\).

c) Sai. Số cách chọn có nhiều nhất 2 học sinh khối 10 gồm ba trường hợp:

Không có học sinh khối 10: chọn 6 từ 9 học sinh khối 11 và khối 12, có \(C_9^6 = 84\) cách.

Có 1 học sinh khối 10: chọn 1 từ 6 học sinh khối 10 và 5 từ 9 học sinh còn lại, có:

\(C_6^1 \cdot C_9^5 = 6 \cdot 126 = 756\) cách.

Có 2 học sinh khối 10: chọn 2 từ 6 học sinh khối 10 và 4 từ 9 học sinh còn lại, có:

\(C_6^2 \cdot C_9^4 = 15 \cdot 126 = 1890\) cách.

Tổng số cách chọn thuận lợi là \(84 + 756 + 1890 = 2730\).

Xác suất là \(\frac{{2730}}{{5005}} = \frac{6}{{11}} \ne \frac{{69}}{{385}}\).

d) Đúng. Xét biến cố đối: chọn 6 học sinh thiếu ít nhất một khối.

Thiếu khối 12 có \(C_{11}^6 = 462\) cách.

Thiếu khối 11 có \(C_{10}^6 = 210\) cách.

Thiếu khối 10 có \(C_9^6 = 84\) cách.

Trường hợp chọn cả 6 học sinh khối 10 (đồng thời thiếu cả khối 12 và khối 11) có \(C_6^6 = 1\) cách và bị đếm hai lần. Mỗi khối 12 và khối 11 riêng lẻ đều có ít hơn 6 học sinh, nên không có các trường hợp giao khác. Số cách chọn thiếu ít nhất một khối là:

\(N = C_{11}^6 + C_{10}^6 + C_9^6 - 1 = 462 + 210 + 84 - 1 = 755\).

Xác suất để chọn được 6 học sinh có đủ cả 3 khối là:

\(P = \frac{{5005 - 755}}{{5005}} = \frac{{4250}}{{5005}} = \frac{{850}}{{1001}}\).