Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với \(ABCD\). Biết rằng bốn tam giác là bốn tam giác cân. Hỏi tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Đáp án: a) Sai. \(\quad \)             b) Đúng. \(\quad \)      c) Đúng. \(\quad \)                                 d) Sai.

a) Sai. Khối chóp thu được có đáy là hình vuông \(EFGH\) và đỉnh chung \(S\) (do bốn đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) chụm lại), các cạnh bên bằng nhau nên là khối chóp tứ giác đều, không phải tứ diện đều.

b) Đúng. Đáy của khối chóp là hình vuông \(EFGH\) cạnh \(x\), nên diện tích đáy là \(S = {x^2}\).

c) Đúng. Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\), khoảng cách từ \(O\) đến các cạnh là:

\(\frac{{1,5}}{2} = \frac{3}{4}{\rm{\;m}}\).

Tam giác \(OHG\) vuông cân tại \(O\) nên \(OH = \frac{x}{{\sqrt 2 }}\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(AD\), ta có \(OM = \frac{3}{4}\), \(AM = \frac{3}{4}\).

Khoảng cách \(HM = OM - OH = \frac{3}{4} - \frac{x}{{\sqrt 2 }}\).

Độ dài cạnh bên của chóp là:

\(SH = AH = \sqrt {A{M^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4} - \frac{x}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \).

Chiều cao của khối chóp là:

\(h = \sqrt {S{H^2} - {{\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{9}{{16}} + \frac{9}{{16}} - \frac{{3x}}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{2}}  = \sqrt {\frac{9}{8} - \frac{{3x}}{{2\sqrt 2 }}} \).

d) Sai. Vì \(x = HG > 0\) và khối chóp không suy biến nên \(h > 0\), do đó \(0 < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Vì \(g\left( x \right) = 9{V^2} = {x^4}{h^2} = \frac{9}{8}{x^4} - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}{x^5}\) và \(V > 0\), thể tích lớn nhất khi \(g\left( x \right)\) lớn nhất.

Đạo hàm: \(g'\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^3}\left( {3 - \frac{5}{{\sqrt 2 }}x} \right)\).

Suy ra \(g'\left( x \right) > 0\) khi \(0 < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{5}\), và \(g'\left( x \right) < 0\) khi \(\frac{{3\sqrt 2 }}{5} < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Do đó thể tích lớn nhất tại \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{5} \ne \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án: a) Đúng. \(\quad \)         b) Đúng. \(\quad \)      c) Sai. \(\quad \) d) Đúng.

a) Đúng. Số phần tử của không gian mẫu chọn 6 học sinh từ \(4 + 5 + 6 = 15\) học sinh là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{15}^6 = 5005\).

b) Đúng. Vì khối 12 có 4 học sinh và khối 11 có 5 học sinh nên để chọn được 6 học sinh cùng một khối thì chỉ có thể chọn từ 6 học sinh khối 10.

Số cách chọn là \(C_6^6 = 1\).

Xác suất là \(\frac{1}{{5005}}\).

c) Sai. Số cách chọn có nhiều nhất 2 học sinh khối 10 gồm ba trường hợp:

Không có học sinh khối 10: chọn 6 từ 9 học sinh khối 11 và khối 12, có \(C_9^6 = 84\) cách.

Có 1 học sinh khối 10: chọn 1 từ 6 học sinh khối 10 và 5 từ 9 học sinh còn lại, có:

\(C_6^1 \cdot C_9^5 = 6 \cdot 126 = 756\) cách.

Có 2 học sinh khối 10: chọn 2 từ 6 học sinh khối 10 và 4 từ 9 học sinh còn lại, có:

\(C_6^2 \cdot C_9^4 = 15 \cdot 126 = 1890\) cách.

Tổng số cách chọn thuận lợi là \(84 + 756 + 1890 = 2730\).

Xác suất là \(\frac{{2730}}{{5005}} = \frac{6}{{11}} \ne \frac{{69}}{{385}}\).

d) Đúng. Xét biến cố đối: chọn 6 học sinh thiếu ít nhất một khối.

Thiếu khối 12 có \(C_{11}^6 = 462\) cách.

Thiếu khối 11 có \(C_{10}^6 = 210\) cách.

Thiếu khối 10 có \(C_9^6 = 84\) cách.

Trường hợp chọn cả 6 học sinh khối 10 (đồng thời thiếu cả khối 12 và khối 11) có \(C_6^6 = 1\) cách và bị đếm hai lần. Mỗi khối 12 và khối 11 riêng lẻ đều có ít hơn 6 học sinh, nên không có các trường hợp giao khác. Số cách chọn thiếu ít nhất một khối là:

\(N = C_{11}^6 + C_{10}^6 + C_9^6 - 1 = 462 + 210 + 84 - 1 = 755\).

Xác suất để chọn được 6 học sinh có đủ cả 3 khối là:

\(P = \frac{{5005 - 755}}{{5005}} = \frac{{4250}}{{5005}} = \frac{{850}}{{1001}}\).