Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là \(0,75\) nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang và là \(0,05\) nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Ông \(X\) tiếp xúc với người bệnh hai lần, trong đó có một lần không đeo khẩu trang và một lần có đeo khẩu trang. Xác suất ông \(X\) bị bệnh do lây từ người bệnh đã tiếp xúc là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi \(E\) là đầu mút đáy của tam giác cân nằm trên cạnh \(AB\), gần \(A\).

Đặt \(AE = x\), với \(0 < x < 2\).

Khi đó cạnh đáy của mỗi tam giác cân bằng \(4 - 2x\).

Do bốn tam giác là các tam giác vuông cân có cạnh đáy nằm trên cạnh của hình vuông lớn, chiều cao ứng với cạnh đáy là \(2 - x\).

Tổng diện tích của bốn tam giác cân là \(4 \cdot \frac{1}{2}\left( {4 - 2x} \right)\left( {2 - x} \right) = {\left( {4 - 2x} \right)^2}\).

Cạnh của hình vuông ở giữa bằng \(x\sqrt 2 \), nên diện tích của nó là \({\left( {x\sqrt 2 } \right)^2} = 2{x^2}\).

Tổng diện tích là: \(S\left( x \right) = 6{x^2} - 16x + 16\).

Biến đổi hoàn thành bình phương: \(S\left( x \right) = 6{\left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{{16}}{3} \ge \frac{{16}}{3}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{4}{3} \in \left( {0;\,\,2} \right)\).

Vậy diện tích nhỏ nhất là \(\frac{{16}}{3} \approx 5,33\).

Đáp án: 5,33.

Đáp án: a) Sai. \(\quad \)             b) Đúng. \(\quad \)      c) Đúng. \(\quad \)                                 d) Sai.

a) Sai. Khối chóp thu được có đáy là hình vuông \(EFGH\) và đỉnh chung \(S\) (do bốn đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) chụm lại), các cạnh bên bằng nhau nên là khối chóp tứ giác đều, không phải tứ diện đều.

b) Đúng. Đáy của khối chóp là hình vuông \(EFGH\) cạnh \(x\), nên diện tích đáy là \(S = {x^2}\).

c) Đúng. Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\), khoảng cách từ \(O\) đến các cạnh là:

\(\frac{{1,5}}{2} = \frac{3}{4}{\rm{\;m}}\).

Tam giác \(OHG\) vuông cân tại \(O\) nên \(OH = \frac{x}{{\sqrt 2 }}\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(AD\), ta có \(OM = \frac{3}{4}\), \(AM = \frac{3}{4}\).

Khoảng cách \(HM = OM - OH = \frac{3}{4} - \frac{x}{{\sqrt 2 }}\).

Độ dài cạnh bên của chóp là:

\(SH = AH = \sqrt {A{M^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4} - \frac{x}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \).

Chiều cao của khối chóp là:

\(h = \sqrt {S{H^2} - {{\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{9}{{16}} + \frac{9}{{16}} - \frac{{3x}}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{2}}  = \sqrt {\frac{9}{8} - \frac{{3x}}{{2\sqrt 2 }}} \).

d) Sai. Vì \(x = HG > 0\) và khối chóp không suy biến nên \(h > 0\), do đó \(0 < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Vì \(g\left( x \right) = 9{V^2} = {x^4}{h^2} = \frac{9}{8}{x^4} - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}{x^5}\) và \(V > 0\), thể tích lớn nhất khi \(g\left( x \right)\) lớn nhất.

Đạo hàm: \(g'\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^3}\left( {3 - \frac{5}{{\sqrt 2 }}x} \right)\).

Suy ra \(g'\left( x \right) > 0\) khi \(0 < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{5}\), và \(g'\left( x \right) < 0\) khi \(\frac{{3\sqrt 2 }}{5} < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Do đó thể tích lớn nhất tại \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{5} \ne \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).