Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một phần của đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là \(\left( {1\,;\,0} \right)\) và \(\left( {8\,;0} \right)\) với đơn vị trên hệ trục tọa độ là 1 km.

 

Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm \(\left( {6\,;5} \right)\). Hỏi khinh khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất 3 875 m thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang bao nhiêu? (đơn vị: km).

Đáp án: 7,2.

Cách 1: Gọi \(y = \frac{{a\left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right)}}{{x + d}}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là đường đi của khinh khí cầu.

Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \(y = a\left( {2x - 9} \right)\).

Phương trình đường thẳng này đi qua điểm \(\left( {6\,;5} \right)\), suy ra \(a = \frac{5}{3}\).

\( \Rightarrow y = \frac{{\frac{5}{3}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right)}}{{x + d}}\) đi qua điểm \(\left( {6\,;5} \right)\) nên \(5 = \frac{{\frac{5}{3}\left( {6 - 1} \right)\left( {6 - 8} \right)}}{{6 + d}}\)\( \Leftrightarrow d = - \frac{{28}}{3}\).

\( \Rightarrow y = \frac{{\frac{5}{3}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right)}}{{x - \frac{{28}}{3}}} = \frac{{5{x^2} - 45x + 40}}{{3x - 28}}\).

Cách 2:

Gọi \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là đường đi của khinh khí cầu.

Khi đó \(y' = {\left( {\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}} \right)^\prime }\)\( = \frac{{\left( {2ax + b} \right)\left( {x + d} \right) - \left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{{{\left( {x + d} \right)}^2}}} = \frac{{a{x^2} + 2adx + bd - c}}{{{{\left( {x + d} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y\left( 1 \right) = 0}\\{y\left( 8 \right) = 0}\\{y\left( 6 \right) = 5}\\{y'\left( 6 \right) = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{a + b + c}}{{d + 1}} = 0}\\{\frac{{64a + 8b + c}}{{d + 8}} = 0}\\{\frac{{36a + 6b + c}}{{d + 6}} = 5}\\{\frac{{36a + 12ad + bd - c}}{{{{\left( {d + 6} \right)}^2}}} = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b + c = 0}\\{64a + 8b + c = 0}\\{36a + 6b + c = 30 + 5d}\\{36a + 12ad + bd - c = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = - 9a}\\{c = 8a}\\{d = - 2a - 6}\\{36a + 12ad + bd - c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{5}{3}}\\{b = - 15}\\{c = \frac{{40}}{3}}\\{d = - \frac{{28}}{3}.}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow y = \frac{{\frac{5}{3}{x^2} - 15x + \frac{{40}}{3}}}{{x - \frac{{28}}{3}}} = \frac{{5{x^2} - 45x + 40}}{{3x - 28}}.\)

Ta có \(y = \frac{{5{x^2} - 45x + 40}}{{3x - 28}} = 3,875\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 45x + 40 = 11,625x - 108,5\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 56,625x + 148,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7,2}\\{x = 4,125}\end{array}} \right.\).

Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất 3 875 m thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang \(7,2\;\,{\rm{km}}.\)