Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) là một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(f\left( x \right)\) (tham khảo hình vẽ).
Vị trí điểm cực đại là \(\left( {2;4} \right)\) với đơn vị của hệ trục là 100 m và vị trí điểm cực tiểu là gốc tọa độ \(O\). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình \(y = 16 - 4x.\) Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) là một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(f\left( x \right)\) (tham khảo hình vẽ).
Vị trí điểm cực đại là \(\left( {2;4} \right)\) với đơn vị của hệ trục là 100 m và vị trí điểm cực tiểu là gốc tọa độ \(O\). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình \(y = 16 - 4x.\) Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 14) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 69,6.
Do hàm số đạt cực đại tại \(\left( {2\,;\,4} \right)\) và đạt cực tiểu tại \(\left( {0\,;0} \right)\) nên \(f'\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 0\) và
\(x = 2\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = ax\left( {x - 2} \right)\).
Suy ra \(f\left( x \right) = \int {f'} \left( x \right){\rm{d}}x = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right) + C\).
Ta có \(f\left( x \right)\) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) nên \(C = 0.\)
\(f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {2\,;4} \right)\) nên \(4 = a\left( {\frac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right) \Leftrightarrow a = - 3.\)
Suy ra \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} \Rightarrow f\left( x \right) \cap Ox\) tại \(\left( {0\,;0} \right)\) và \(\left( {3\,;0} \right)\).
Gọi vị trí đặt cầu là điểm \(A\left( {t; - {t^3} + 3{t^2}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\).
Ta có phương trình mặt đường là \(y = 16 - 4x \Rightarrow 4x + y - 16 = 0.\)
Độ dài cây cầu là: \(d\left( {A\,,d} \right) = \frac{{\left| {4t - {t^3} + 3{t^2} - 16} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {4t - {t^3} + 3{t^2} - 16} \right|}}{{\sqrt {17} }}\).
Lập bảng biến thiên tại \(\left[ {0\,;\,3} \right]\) để tìm min của hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left| {4t - {t^3} + 3{t^2} - 16} \right|}}{{\sqrt {17} }}\).
\( \Rightarrow d\left( {A\,,\,d} \right)\) nhỏ nhất bằng 0,696 khi \(x \approx 2,52\).
Vậy độ dài cây cầu ngắn nhất là \(0,696 \cdot 100 = 69,6\;\,\,{\rm{(m)}}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số, trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\), hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_2} = \left( {2\,; - 1\,;3} \right)\). Chọn B.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập