Một nhóm sinh viên tham gia hồi cứu năm 2020 về bệnh Covid 19 ở tỉnh X. Tỉ lệ bị bệnh Covid của tỉnh X là 0,02. Tại thời điểm đó Sở Y Tế đã sử dụng một phản ứng (hay còn gọi là test nhanh) để chẩn đoán bệnh, phản ứng trên có tỉ lệ chẩn đoán sai bằng 0,197. Dân số của toàn bộ tỉnh X năm 2020 đều bắt buộc tham gia test nhanh và số liệu ghi nhận số người có kết quả dương tính chiếm 21,5%. Chọn ngẫu nhiên một mẫu phản ứng có kết quả âm tính, xác suất để người này không bị bệnh bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 99,9.

Gọi \(A\) là biến cố: “Người đó bị bệnh”; \(B\) là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.

Khi đó \(\bar B\) là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả âm tính”.

YCBT \( \Leftrightarrow \) Tính \(P\left( {\bar A\mid \bar B} \right)\) (dùng công thức Bayes để tính).

Từ dữ kiện đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,02 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,98\).

Giả sử \(P\left( {\bar B\mid A} \right) = x \Rightarrow P\left( {B\mid A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid A} \right) = 1 - x\)

         \(P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = y \Rightarrow P\left( {B\mid \bar A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 1 - y\).

Ta có sơ đồ cây sau:

Từ giả thiết, ta có:

+) Tỉ lệ chẩn đoán sai (tức người đó bị bệnh và xét nghiệm cho kết quả âm tính hoặc người đó không bị bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính) bằng 0,197

\( \Leftrightarrow P\left( A \right) \cdot P\left( {\bar B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,197\)

\( \Leftrightarrow 0,02x + 0,98 \cdot \left( {1 - y} \right) = 0,197\)

\( \Leftrightarrow 0,02x - 0,98y = - 0,783\). (1)

+) Số người có kết quả dương tính chiếm \(21,5\% \)

\( \Leftrightarrow P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,215\)

\( \Leftrightarrow 0,02 \cdot \left( {1 - x} \right) + 0,98 \cdot \left( {1 - y} \right) = 0,215\)

\( \Leftrightarrow - 0,02x + 0,02 + 0,98 - 0,98y = 0,215\)

\( \Leftrightarrow 0,02x + 0,98y = 0,785\). (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,02x - 0,98y = - 0,783}\\{0,02x + 0,98y = 0,785}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,05}\\{y = 0,8}\end{array}} \right.} \right..\)

Suy ra \(P\left( {\bar B\mid A} \right) = 0,05;\,\,P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 0,8.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

\(P\left( {\bar B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\bar B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar B\mid \bar A} \right)\)\( = 0,02 \cdot 0,05 + 0,98 \cdot 0,8 = 0,785.\)

Áp dụng công thức Bayes, suy ra \(P\left( {\bar A\mid \bar B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A} \right)P\left( {\bar B\mid \bar A} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}}\)\( = \frac{{0,98 \cdot 0,8}}{{0,785}} \approx 99,9\% \).