Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 2{\rm{ cm,}}\) \(AC = 4{\rm{ cm}}\). Qua \(B\) dựng đường thẳng cắt \(AC\) tại \(D\) sao cho \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\). Gọi \(AH\) là đường cao \(\Delta ABC\), \(AE\) là đường cao của \(\Delta ABD\).

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(\Delta ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({5^2} + {12^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 169\)

Suy ra \(BC = 13{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ABH}\) (góc chung)

Suy ra \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\) (g.g)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) hay \(A{B^2} = BH.BC\) (đpcm)

c) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ACB} = \widehat {ACH}\) (góc chung)

Suy ra \(\Delta ABC \sim \Delta HAC\) (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = HC.BC\).

Khi đó, \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH.BC}}{{HC.BC}} = \frac{{HB}}{{HC}}\) (*)

Ta có \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) nên \(HM \bot AB\) (1).

Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \bot AB\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(HM\parallel AC\).

Suy ra \(\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) (**)

Thay (**) vào (*) ta được: \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) (đpcm)

Nửa chu vi của hình chữ nhật là \(100:2 = 50{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) \(\left( {0 < x < 50} \right)\).

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: \(50 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(x\left( {50 - x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Nếu tăng chiều rộng thêm \(10{\rm{ m}}\) thì chiều rộng mới là \(x + 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Nếu giảm chiều dài đi \(10{\rm{ m}}\) thì chiều dài mới là \(50 - x - 10 = 40 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình:

\(x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\)

\(50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x\)

\(50x - 40x + 10x = 400\)

\(20x = 400\)

\(x = 20\) (thỏa mãn).

Do đó, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(20{\rm{ m}}\), chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \(30{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \(20.30 = 600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).