PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình sau?

Đáp án: 718.

Đặt \(BX = x\left( {{\rm{\;km}}} \right)\), ta có: \(AX = 0,8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\); \(XC = \sqrt {{{\left( {0,4} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {0,16 + {x^2}} \,\,\left( {{\rm{km}}} \right){\rm{.\;}}\)

Xét hàm số: \(T\left( x \right) = \frac{{0,8 - x}}{{30}} + \frac{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}{6} = \frac{1}{{30}}\left( {0,8 - x + 5\sqrt {0,16 + {x^2}} } \right)\,\,\,\left( {0 \le x < 0,8} \right).\)

Ta có: \(T'\left( x \right) = \frac{1}{{30}}\left( { - 1 + \frac{{5x}}{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}} \right),T'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 5x = \sqrt {0,16 + {x^2}} \).

Bình phương hai vế phương trình ta được \(0,16 + {x^2} = 25{x^2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).

Vì \(0 \le x < 0,8\) nên \(x = \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(T\left( x \right)\) là:

Vậy \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(T\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{{30}}} \right)\) khi \(AX = 0,8 - \frac{{\sqrt 6 }}{{30}} \approx 0,718\,\,\left( {{\rm{km}}} \right) = 718\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

a) Đúng. Ranh giới vùng phủ sóng của đài kiểm soát không lưu là mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 600\)km.

Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = {600^2}\).

b) Sai. Thay \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 200 + 80t\\z = 10\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) vào \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = {600^2}\), ta được:

\({\left( { - 1000 + 100t} \right)^2} + {\left( { - 200 + 80t} \right)^2} + {10^2} = {600^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx 10\) hoặc \(t \approx 4,15\).

Với \(t \approx 10\), ta có \(B\left( {0;\,600;\,10} \right)\).

Với \(t \approx 4,15\), ta có \(C\left( { - 585;132;10} \right)\).

Có \(B\) và \(C\) là các vị trí mà máy bay xuất hiện và ra khỏi màn hình của đài kiểm soát không lưu.

Vậy quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu là

\(BC = \sqrt {{{\left( { - 585 - 0} \right)}^2} + {{\left( {132 - 600} \right)}^2} + {{\left( {10 - 10} \right)}^2}} \approx 749\) km.

c) Đúng. Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Ta có \(H\left( { - 292,5;\,\,366;\,\,10} \right)\) và \(OH \bot BC\).

Khi đó, \(H\) là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

d) Đúng. Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu chính là \(OH\).

Ta có \(OH = \sqrt {{{\left( { - 292,5} \right)}^2} + {{366}^2} + {{10}^2}} \approx 469\) (km).