Người ta thiết kế một mẫu gạch lát nền nhà có dạng hình vuông cạnh \[4\,{\rm{dm}}\]. Bốn góc viên gạch màu trắng, phần ở giữa chấm đen (như hình vẽ). Đường viền của phần chấm đen bao gồm bốn đoạn thẳng nằm trên các cạnh hình vuông và bốn đường cong có tính chất: Tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch (hai đường thẳng đi qua tâm viên gạch và lần lượt song song với hai cạnh vuông góc) bằng \[2\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\]. Hãy cho biết phần chấm đen có diện tích bằng bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 718.

Đặt \(BX = x\left( {{\rm{\;km}}} \right)\), ta có: \(AX = 0,8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\); \(XC = \sqrt {{{\left( {0,4} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {0,16 + {x^2}} \,\,\left( {{\rm{km}}} \right){\rm{.\;}}\)

Xét hàm số: \(T\left( x \right) = \frac{{0,8 - x}}{{30}} + \frac{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}{6} = \frac{1}{{30}}\left( {0,8 - x + 5\sqrt {0,16 + {x^2}} } \right)\,\,\,\left( {0 \le x < 0,8} \right).\)

Ta có: \(T'\left( x \right) = \frac{1}{{30}}\left( { - 1 + \frac{{5x}}{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}} \right),T'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 5x = \sqrt {0,16 + {x^2}} \).

Bình phương hai vế phương trình ta được \(0,16 + {x^2} = 25{x^2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).

Vì \(0 \le x < 0,8\) nên \(x = \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(T\left( x \right)\) là:

Vậy \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(T\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{{30}}} \right)\) khi \(AX = 0,8 - \frac{{\sqrt 6 }}{{30}} \approx 0,718\,\,\left( {{\rm{km}}} \right) = 718\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

a) Đúng. Ranh giới vùng phủ sóng của đài kiểm soát không lưu là mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 600\)km.

Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = {600^2}\).

b) Sai. Thay \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 200 + 80t\\z = 10\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) vào \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = {600^2}\), ta được:

\({\left( { - 1000 + 100t} \right)^2} + {\left( { - 200 + 80t} \right)^2} + {10^2} = {600^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx 10\) hoặc \(t \approx 4,15\).

Với \(t \approx 10\), ta có \(B\left( {0;\,600;\,10} \right)\).

Với \(t \approx 4,15\), ta có \(C\left( { - 585;132;10} \right)\).

Có \(B\) và \(C\) là các vị trí mà máy bay xuất hiện và ra khỏi màn hình của đài kiểm soát không lưu.

Vậy quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu là

\(BC = \sqrt {{{\left( { - 585 - 0} \right)}^2} + {{\left( {132 - 600} \right)}^2} + {{\left( {10 - 10} \right)}^2}} \approx 749\) km.

c) Đúng. Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Ta có \(H\left( { - 292,5;\,\,366;\,\,10} \right)\) và \(OH \bot BC\).

Khi đó, \(H\) là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

d) Đúng. Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu chính là \(OH\).

Ta có \(OH = \sqrt {{{\left( { - 292,5} \right)}^2} + {{366}^2} + {{10}^2}} \approx 469\) (km).