Dân số trung bình sơ bộ năm 2021 của tỉnh A là 1191782 người, tăng 1,75% so với năm 2020. Hỏi với tốc độ tăng dân số được duy trì mức 1,75% một năm thì đến năm bao nhiêu dân số tỉnh A lần đầu vượt 1880000 người.

Đáp án: 718.

Đặt \(BX = x\left( {{\rm{\;km}}} \right)\), ta có: \(AX = 0,8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\); \(XC = \sqrt {{{\left( {0,4} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {0,16 + {x^2}} \,\,\left( {{\rm{km}}} \right){\rm{.\;}}\)

Xét hàm số: \(T\left( x \right) = \frac{{0,8 - x}}{{30}} + \frac{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}{6} = \frac{1}{{30}}\left( {0,8 - x + 5\sqrt {0,16 + {x^2}} } \right)\,\,\,\left( {0 \le x < 0,8} \right).\)

Ta có: \(T'\left( x \right) = \frac{1}{{30}}\left( { - 1 + \frac{{5x}}{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}} \right),T'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 5x = \sqrt {0,16 + {x^2}} \).

Bình phương hai vế phương trình ta được \(0,16 + {x^2} = 25{x^2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).

Vì \(0 \le x < 0,8\) nên \(x = \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(T\left( x \right)\) là:

Vậy \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(T\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{{30}}} \right)\) khi \(AX = 0,8 - \frac{{\sqrt 6 }}{{30}} \approx 0,718\,\,\left( {{\rm{km}}} \right) = 718\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

a) Đúng. Ranh giới vùng phủ sóng của đài kiểm soát không lưu là mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 600\)km.

Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = {600^2}\).

b) Sai. Thay \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 200 + 80t\\z = 10\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) vào \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = {600^2}\), ta được:

\({\left( { - 1000 + 100t} \right)^2} + {\left( { - 200 + 80t} \right)^2} + {10^2} = {600^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx 10\) hoặc \(t \approx 4,15\).

Với \(t \approx 10\), ta có \(B\left( {0;\,600;\,10} \right)\).

Với \(t \approx 4,15\), ta có \(C\left( { - 585;132;10} \right)\).

Có \(B\) và \(C\) là các vị trí mà máy bay xuất hiện và ra khỏi màn hình của đài kiểm soát không lưu.

Vậy quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu là

\(BC = \sqrt {{{\left( { - 585 - 0} \right)}^2} + {{\left( {132 - 600} \right)}^2} + {{\left( {10 - 10} \right)}^2}} \approx 749\) km.

c) Đúng. Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Ta có \(H\left( { - 292,5;\,\,366;\,\,10} \right)\) và \(OH \bot BC\).

Khi đó, \(H\) là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

d) Đúng. Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu chính là \(OH\).

Ta có \(OH = \sqrt {{{\left( { - 292,5} \right)}^2} + {{366}^2} + {{10}^2}} \approx 469\) (km).