PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Hai thành phố \(A\) và \(B\) cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là 5 km và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là 7 km (hình vẽ), biết \(HE + KF = 24\,\,{\rm{km}}\) và độ dài \(EF\) không đổi. Hỏi nên xây cây cầu cách thành phố \(B\) bao nhiêu kilômét để đường đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) là ngắn nhất, biết đi theo đường \(AEFB\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 150.

Ta có \(\overrightarrow {E{A_1}} = \left( {0;1; - 6} \right);\overrightarrow {E{A_2}} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right);\overrightarrow {E{A_3}} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right) \Rightarrow E{A_1} = E{A_2} = E{A_3} = \sqrt {37} \).

Vì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{A_3}{A_1}} } \right| = \sqrt 3 \) nên tam giác \({A_1}{A_2}{A_3}\) đều. Do đó, \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\).

Vì vậy, tồn tại hằng số \(k\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) sao cho:

$\overrightarrow{F_1}=k\overrightarrow{E{A}_1}=\left(0;k;-6k\right);\overrightarrow{F_2}=k\overrightarrow{E{A}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k;-\frac{1}{2}k;-6k\right);\overrightarrow{F_3}=k\overrightarrow{E{A}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}k;-\frac{1}{2}k;-6k\right)$

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 18k} \right)\).

Mặt khác, ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec P\), trong đó \(\overrightarrow P = \left( {0;0; - 300} \right)\) là trọng lực tác dụng lên máy quay.

Suy ra \( - 18k = 300\), tức là \(k = \frac{{50}}{3}\). Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( {0;\frac{{50}}{3}; - 100} \right)\). Khi đó, \(a + 3b - c = 150\).

Đáp án: \(50,1\).

Ta có \(A \in \left( {Oyz} \right)\) và \(A\) cách mặt nước \(7{\rm{5}}\,\,{\rm{m}}\) và cách trục \(Oz\) là \(343\,\,{\rm{m}} \Rightarrow A\left( {0; - 343;75} \right)\).

Điểm \(D\) là đỉnh cột trụ cách mặt nước \(227\,\,{\rm{m}} \Rightarrow D\left( {0;0;227} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AD} = \left( {0;343;152} \right)\). Phương trình đường thẳng \(AD\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 343t\\z = 227 + 152t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Vì \(N \in AD \Rightarrow N\left( {0;343t;227 + 152t} \right)\).

Điểm \(M\) trên thành cầu, \(M\) cách mặt nước \(75\;\,{\rm{m}}\) và cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(230\;\,{\rm{m}}\) nên tọa độ điểm \(M\) là \(M\left( {0; - 230;75} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;343t + 230;152 + 152t} \right)\).

\(MN\) song song với cột trụ \( \Rightarrow MN \bot Oy \Rightarrow \overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow j = 0 \Rightarrow 343t + 230 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{{230}}{{343}}\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;0;\frac{{17176}}{{343}}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{17176}}{{343}} \approx 50,1\) (m).