Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với \(O\) là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục \(Oz\) trùng với cột trụ, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt nước và xem như trục \(Oy\) cùng phương với cầu (xem hình vẽ). Dây cáp \(AD\) (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh \(D\) thuộc trục \(Oz\) và điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\), trong đó điểm \(D\) là đỉnh cột trụ cách mặt nước \(227\,{\rm{m}}\), điểm \(A\) cách mặt nước \(75\,{\rm{m}}\) và cách trục \(Oz\) \(343\,{\rm{m}}\).

Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm \(N\) trên dây cáp \(AD\) và điểm \(M\) trên thành cầu, biết \(M\) cách mặt nước \(75\;\,{\rm{m}}\) và \(MN\) song song với cột trụ. Tính độ dài \(MN\), biết điểm \(M\) cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(230\;{\rm{m}}\) (làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị mét).

Đáp án: 16.

Đặt \[HE = x\,\,{\rm{v\`a }}\,\,FK = y\], với \[0 < x,\,y < 24\].

Ta có \[HE + KF = 24 \Rightarrow x + y = 24\]. Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {25 + {x^2}} \\BF = \sqrt {49 + {y^2}} = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].

Ta thấy quãng đường \(AEFB\) ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất (vì \[EF\] không đổi).

Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 25} + \sqrt {{{\left( {24 - x} \right)}^2} + 49} \].

\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0;24} \right)\].

Cho \[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 10\]. Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của \[f\left( x \right)\] bằng \[12\sqrt 5 \] tại \[x = 10 \Rightarrow BF = 7\sqrt 5 \approx 16\,{\rm{km}}\].

Đáp án: 150.

Ta có \(\overrightarrow {E{A_1}} = \left( {0;1; - 6} \right);\overrightarrow {E{A_2}} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right);\overrightarrow {E{A_3}} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6} \right) \Rightarrow E{A_1} = E{A_2} = E{A_3} = \sqrt {37} \).

Vì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{A_3}{A_1}} } \right| = \sqrt 3 \) nên tam giác \({A_1}{A_2}{A_3}\) đều. Do đó, \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\).

Vì vậy, tồn tại hằng số \(k\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) sao cho:

$\overrightarrow{F_1}=k\overrightarrow{E{A}_1}=\left(0;k;-6k\right);\overrightarrow{F_2}=k\overrightarrow{E{A}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k;-\frac{1}{2}k;-6k\right);\overrightarrow{F_3}=k\overrightarrow{E{A}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}k;-\frac{1}{2}k;-6k\right)$

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 18k} \right)\).

Mặt khác, ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec P\), trong đó \(\overrightarrow P = \left( {0;0; - 300} \right)\) là trọng lực tác dụng lên máy quay.

Suy ra \( - 18k = 300\), tức là \(k = \frac{{50}}{3}\). Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( {0;\frac{{50}}{3}; - 100} \right)\). Khi đó, \(a + 3b - c = 150\).