Một người gửi tiết kiệm \(10\) triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \(7\% \) trên một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Sau \(5\) năm mới rút lãi thì người đó thu được số tiền lãi là    

Đáp án: \(7,2\).

Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình của đường cong là \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\).

Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {8;0} \right)\) nên

\({x^2} + bx + c = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right) = {x^2} - 9x + 8\).

Suy ra \(y = \frac{{{x^2} - 9x + 8}}{{dx + e}} \Rightarrow y' = \frac{{\left( {2x - 9} \right)\left( {dx + e} \right) - d\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}\).

Vì đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\left( {6;5} \right)\) nên suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 6 \right) = 0\\y\left( 6 \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {6d + e} \right) + 10d = 0\\\frac{{ - 10}}{{6d + e}} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}28d + 3e = 0\\30d + 5e = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \frac{3}{5}\\e = - \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình của hàm số là: \(y = \frac{{5\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{3x - 28}}\).

Kiểm tra lại điểm cực trị của hàm số này ta thấy điểm \(\left( {6;5} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) tìm nghiệm \(x > 6\) của phương trình

\(\frac{{5\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{3x - 28}} = 3,875 \Leftrightarrow 5{x^2} - 56,625x + 148,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7,2\\x = 4,125\,\,\,(L)\end{array} \right.\).

Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất \(3875\,\,{\rm{m}}\) thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang là 7,2 km.

Đáp án: \(0,55\).

Gọi \(A\) là biến cố: “An lấy ra viên bi màu xanh”.

Khi đó \(\left\{ {A;\bar A} \right\}\) là một hệ đầy đủ các biến cố với \(P\left( A \right) = \frac{2}{3};\,\,P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{3}\).

Gọi \(B\) là biến cố: “Tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu”.

Ta có \(P\left( {B|A} \right)\) chính là xác suất 2 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ, do đó

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_{14}^2 - C_9^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{55}}{{91}}\).

Tương tự \(P\left( {B|\bar A} \right)\) chính là xác suất 3 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh, do đó

\[P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{C_{14}^3 - C_4^3}}{{C_{14}^3}} = \frac{{90}}{{91}}\].

Áp dụng công thức xác suất Bayes, ta có:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{91}}}}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{91}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{90}}{{91}}}} = \frac{{11}}{{20}} = 0,55\).