Hệ thống lọc nước bể bơi vô cùng quan trọng khi tiến hành xây dựng công trình bơi lội để nguồn nước được làm sạch thường xuyên và giữ vệ sinh cho người bơi. Trong quá trình vận hành lọc nước thì lượng nước trong bể sẽ thay đổi theo thời gian. Lượng nước trong bể giảm nếu hệ thống đang xả nước bẩn ra khỏi bể và tăng nếu hệ thống đang cấp thêm nước sạch cho bể. Biết rằng \[1\] gallon gần bằng \[3,785\] lít, dung tích của bể là \(1000\) gallon và thời điểm \[6\] giờ sáng bể chứa \(250\) gallon nước. Hàm số \(f\left( t \right)\) biểu thị cho tốc độ thay đổi lượng nước trong bể theo thời gian \(t\) giờ, từ thời điểm \[6\] giờ sáng đến \[6\] giờ chiều được cho bởi \[f\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}100t{\rm{         }}\,\,\,\,{\rm{khi }}0 \le t \le 3\\900 - 200t{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}3 \le t \le 6\\100t - 900{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}6 \le t \le 12\end{array} \right.\]với mốc thời gian \(t = 0\) tại thời điểm \[6\] giờ sáng. Hỏi ở thời điểm \[6\] giờ chiều thì trong bể chứa bao nhiêu gallon nước?

Đáp án: \(7,2\).

Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình của đường cong là \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\).

Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {8;0} \right)\) nên

\({x^2} + bx + c = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right) = {x^2} - 9x + 8\).

Suy ra \(y = \frac{{{x^2} - 9x + 8}}{{dx + e}} \Rightarrow y' = \frac{{\left( {2x - 9} \right)\left( {dx + e} \right) - d\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}\).

Vì đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\left( {6;5} \right)\) nên suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 6 \right) = 0\\y\left( 6 \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {6d + e} \right) + 10d = 0\\\frac{{ - 10}}{{6d + e}} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}28d + 3e = 0\\30d + 5e = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \frac{3}{5}\\e = - \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình của hàm số là: \(y = \frac{{5\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{3x - 28}}\).

Kiểm tra lại điểm cực trị của hàm số này ta thấy điểm \(\left( {6;5} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) tìm nghiệm \(x > 6\) của phương trình

\(\frac{{5\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{3x - 28}} = 3,875 \Leftrightarrow 5{x^2} - 56,625x + 148,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7,2\\x = 4,125\,\,\,(L)\end{array} \right.\).

Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất \(3875\,\,{\rm{m}}\) thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang là 7,2 km.

Đáp án: \(0,55\).

Gọi \(A\) là biến cố: “An lấy ra viên bi màu xanh”.

Khi đó \(\left\{ {A;\bar A} \right\}\) là một hệ đầy đủ các biến cố với \(P\left( A \right) = \frac{2}{3};\,\,P\left( {\bar A} \right) = \frac{1}{3}\).

Gọi \(B\) là biến cố: “Tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu”.

Ta có \(P\left( {B|A} \right)\) chính là xác suất 2 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ, do đó

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_{14}^2 - C_9^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{55}}{{91}}\).

Tương tự \(P\left( {B|\bar A} \right)\) chính là xác suất 3 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh, do đó

\[P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{C_{14}^3 - C_4^3}}{{C_{14}^3}} = \frac{{90}}{{91}}\].

Áp dụng công thức xác suất Bayes, ta có:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{91}}}}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{55}}{{91}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{90}}{{91}}}} = \frac{{11}}{{20}} = 0,55\).