Một hộp chứa \(10\) viên bi xanh và \(5\) viên bi đỏ. Bạn An lấy ra ngẫu nhiên \(1\) viên bi từ hộp, xem màu, rồi bỏ ra ngoài. Nếu viên bi An lấy ra có màu xanh, bạn Bình sẽ lấy ra ngẫu nhiên \(2\) viên bi từ hộp; còn nếu viên bi An lấy ra có màu đỏ, bạn Bình sẽ lấy ra ngẫu nhiên \(3\) viên bi từ hộp. Tính xác suất để An lấy được viên bi màu xanh, biết rằng tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu.

Đáp án: \(7,2\).

Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình của đường cong là \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\).

Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {8;0} \right)\) nên

\({x^2} + bx + c = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right) = {x^2} - 9x + 8\).

Suy ra \(y = \frac{{{x^2} - 9x + 8}}{{dx + e}} \Rightarrow y' = \frac{{\left( {2x - 9} \right)\left( {dx + e} \right) - d\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}\).

Vì đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\left( {6;5} \right)\) nên suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 6 \right) = 0\\y\left( 6 \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {6d + e} \right) + 10d = 0\\\frac{{ - 10}}{{6d + e}} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}28d + 3e = 0\\30d + 5e = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \frac{3}{5}\\e = - \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình của hàm số là: \(y = \frac{{5\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{3x - 28}}\).

Kiểm tra lại điểm cực trị của hàm số này ta thấy điểm \(\left( {6;5} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) tìm nghiệm \(x > 6\) của phương trình

\(\frac{{5\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{3x - 28}} = 3,875 \Leftrightarrow 5{x^2} - 56,625x + 148,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7,2\\x = 4,125\,\,\,(L)\end{array} \right.\).

Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất \(3875\,\,{\rm{m}}\) thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang là 7,2 km.

Đáp án: \(1,15\).

Do đồ thị của \(f\left( x \right) = {a^x}\) và \(g\left( x \right) = {\log _b}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x \Rightarrow a = b\).

Mặt khác đồ thị của \(y = {\log _b}x\) đi qua điểm \(C\left( {3;2} \right) \Rightarrow b = \sqrt 3 \).

Hai hàm số là \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) và \(g\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\).

Đồ thị của \(f\left( x \right)\) cắt \(y = 2\) tại điểm \(\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}2;\,2} \right)\) và đồ thị của \(g\left( x \right)\) cắt \(y = - 2\) tại \(\left( {\frac{1}{3}; - 2} \right)\).

Diện tích của miền \({H_1}\) là: \({S_1} = \int\limits_{ - 3}^{{{\log }_{\sqrt 3 }}2} {\left( {2 - {{\sqrt 3 }^x}} \right){\rm{d}}x \approx 5,233} \) (m²).

Diện tích của miền \({H_3}\) là: \({S_3} = \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}x + 2} \right){\rm{d}}x} \approx 7,145\) (m²).

Diện tích của miền \({H_2}\) là: \({S_2} \approx 6 \times 4 - 5,233 - 7,145 = 11,622\) (m²).

Vậy cần dùng 2 hộp sơn màu xanh da trời, 3 hộp sơn màu xanh lá cây và 4 hộp sơn màu vàng.

Số tiền bạn Hà cần dùng mua sơn là:

\(T = 100\,000 \times 2 + 130\,000 \times 3 + 140\,000 \times 4 = 1\,150\,000\) (đồng) \( = 1,15\) (triệu đồng).