Một khối lập phương có độ dài cạnh là \(2\;{\rm{cm}}\)được chia thành 8 khối lập phương cạnh \(1\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của các khối lập phương cạnh \(1\;{\rm{cm}}\)?

Đáp án: 9.

Gọi \(x\) là số lượng giếng dầu công ty khai thác thêm,\(x \in \mathbb{N}\).

Tổng số giếng dầu sau khi thêm: \(15 + x\)(giếng).

Sản lượng dầu của mỗi giếng sau khi thêm: \(231 - 7x\)(thùng/ngày).

Điều kiện:\(231 - 7x > 0\) suy ra \(x < 33\).

Gọi \(f(x)\)là tổng sản lượng dầu chiết xuất được mỗi ngày. Ta có:

\(f\left( x \right) = \left( {15 + x} \right)\left( {231 - 7x} \right) =  - 7{x^2} + 126x + 3465\)

Với hệ số \(a =  - 7 < 0\) nên đồ thị là một parabol có đỉnh là điểm cao nhất.

Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại tọa độ đỉnh:\[\;x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 126}}{{2 \cdot \left( { - 7} \right)}} = 9\] (thỏa mãn).

Đáp án: 118.

Ta gọi số của 3 người trong một nhóm lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\)(\(a,b,c \in \mathbb{N}*\)\(1 \le a < b < c \le 100\)).

Ta có: \(a + b + c = 100\) với điều kiện (do mỗi thẻ ghi một số khác nhau và việc lập nhóm không phân biệt thứ tự từng người).

Vì \(a < b < c\) nên ta có bất đẳng thức:

\[a + \left( {a + 1} \right) + \left( {a + 2} \right) \le a + b + c\]\[ \Leftrightarrow 3a + 3 \le 100\]\[ \Leftrightarrow 3a \le 97\]\[ \Rightarrow a \le 32\]

Vậy \[a\] nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 32.

Với một giá trị \[a\] cho trước, ta có \(b + c = 100 - a\).

Vì \(b < c\) nên \(b + b < b + c \Rightarrow 2b < 100 - a \Rightarrow b < \frac{{100 - a}}{2}\)

Mặt khác, vì \(a < b\) nên \(a + 1 \le b\). Kết hợp điều kiện ở trên ta được: \(a + 1 \le b < \frac{{100 - a}}{2}\)

TH1: \[a\] là số lẻ

Đặt \[a = 2k - 1\] với \[k \in {\mathbb{N}^*}\].

Vì \(1 \le a \le 31\) nên \(1 \le 2k - 1 \le 31 \Rightarrow 1 \le k \le 16\).

Thế \[a = 2k - 1\] vào bất phương trình của \[b\]:

\(\left( {2k - 1} \right) + 1 \le b < \frac{{100 - \left( {2k - 1} \right)}}{2}\)\( \Leftrightarrow 2k \le b < \frac{{101 - 2k}}{2} = 50,5 - k\)

Vì \(b\) là số nguyên, điều kiện \(b < 50,5 - k \Leftrightarrow b \le 50 - k\).

Vậy \(b\) nằm trong đoạn: \(\left[ {2k\,;\,50 - k} \right]\).

Số lượng giá trị của \(b\) tạo được ứng với mỗi \(k\) là: \(\left( {50 - k} \right) - 2k + 1 = 51 - 3k\)

Thay giá trị của \(k\) từ 1 đến 16, ta được dãy số lượng nhóm: \[48,45,42, \ldots ,3\].

Đây là cấp số cộng có 16 số hạng.

Tổng của dãy cấp số cộng này là: \({S_1} = \frac{{\left( {48 + 3} \right)\, \cdot 16}}{2} = 408\) (nhóm).

TH2: \[a\] là số chẵn

Đặt \(a = 2k\) với \(k \in {\mathbb{N}^*}\).

Vì \(2 \le a \le 32\) nên \(1 \le 2k \le 32 \Rightarrow 1 \le k \le 16\).

Thế \(a = 2k\) vào bất phương trình của \(b\):

\(2k + 1 \le b < \frac{{100 - 2k}}{2} \Leftrightarrow 2k + 1 \le b < 50 - k\).

Vì \(b\) là số nguyên, điều kiện \(b < 50 - k\) tương đương với \(b \le 49 - k\).

Vậy \(b\) nằm trong đoạn: \(\left[ {2k + 1\,;\,49 - k} \right]\).

Số lượng giá trị của \(b\) tạo được ứng với mỗi \(k\) là: \(\left( {49 - k} \right) - \left( {2k + 1} \right) + 1 = 49 - 3k\)

Lần lượt cho \(k\) chạy từ \(1\) đến 16, ta được dãy số lượng nhóm: \(46,43,40, \ldots ,1\).

Tổng của cấp số cộng này là: \[{S_2} = \frac{{\left( {46 + 1} \right)\, \cdot \,16}}{2} = 376\] (nhóm).

Tổng số các nhóm 3 người thoả mãn yêu cầu đề bài: \[408 + 376 = 784\](nhóm).

Tổng số tiền lớn nhất cần chuẩn bị là: \(784 \cdot 150000 = 117600000\)đồng\( \approx 118\)triệu đồng.

Vậy số tiền ban quản lý siêu thị phải chuẩn bị khoảng 118 triệu đồng.