Trong một dự án phủ sóng viễn thông cho vùng cao, các kỹ sư cần lắp đặt một trạm phát sóng trên một sườn núi. Qua khảo sát, sườn núi này được mô hình hóa trong hệ tọa độ \(Oxyz\) bằng mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 4z - 7 = 0\) (với \(z \ge 0\), đơn vị trên các trục là \(100{\rm{ m}}\)). Trạm phát sóng có cột ăng-ten cao \(100{\rm{ m}}\), được dựng thẳng đứng (song song với trục \[Oz\]) với chân cột \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\) nằm trên sườn núi \(\left( P \right)\). Thiết bị phát tín hiệu đặt tại đỉnh \(S\) của cột có bán kính phủ sóng tối đa là \(100\sqrt {54} {\rm{ m}}\). Dưới chân núi có một khu dân cư nhỏ nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)

Để đảm bảo sóng ổn định và bao phủ toàn bộ khu vực này, các kỹ sư tính toán yêu cầu hai vị trí trọng yếu là \(A\left( { - 2;3;0} \right)\) và \(B\left( {2;1;0} \right)\) phải nằm ở vạch ranh giới cuối cùng của vùng phủ sóng. Tính giá trị \(T = {x_H} \cdot {y_H} \cdot {z_H}\).

Đáp án: 24

Đơn vị độ dài: 1 đơn vị = 100 m.

Độ cao cột ăng-ten: h = 100 m = 1 đơn vị.

Bán kính phủ sóng: \(R = 100\sqrt {54} \;{\rm{m}} = \sqrt {54} \) đơn vị.

Chân cột \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right) \in \left( P \right)\).

Đỉnh cột \(S\) nằm thẳng đứng phía trên \(H\): \(S\left( {{x_H};{y_H};{z_H} + 1} \right)\).

A, B thuộc biên vùng phủ sóng \( \Rightarrow SA = SB = R = \sqrt {54} \).

Vì \(H \in (P)\) nên: \({x_H} + {y_H} - 4{z_H} - 7 = 0 \Leftrightarrow {x_H} + {y_H} = 4{z_H} + 7\) (1).

 \(\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = 54\\S{B^2} = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_H} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 3} \right)^2} + {\left( {{z_H} + 1} \right)^2} = 54\\{\left( {{x_H} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 1} \right)^2} + {\left( {{z_H} + 1} \right)^2} = 54\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_H} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 3} \right)^2} + {\left( {{z_H} + 1} \right)^2} = 54\\{\left( {{x_H} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 3} \right)^2} = {\left( {{x_H} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_H} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 3} \right)^2} + {\left( {{z_H} + 1} \right)^2} = 54\\{y_H} = 2{x_H} + 2\end{array} \right.\) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_H} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 3} \right)^2} + {\left( {{z_H} + 1} \right)^2} = 54\\{y_H} = 2{x_H} + 2\\{x_H} + {y_H} = 4{z_H} + 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_H} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 3} \right)^2} + {\left( {{z_H} + 1} \right)^2} = 54\\{y_H} = 2{x_H} + 2\\{x_H} + 2{x_H} + 2 = 4{z_H} + 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_H} + 2} \right)^2} + {\left( {{y_H} - 3} \right)^2} + {\left( {{z_H} + 1} \right)^2} = 54\\{y_H} = 2{x_H} + 2\\{z_H} = \frac{{3{x_H} - 5}}{4}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_H} + 2} \right)^2} + {\left( {2{x_H} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{3{x_H} - 1}}{4}} \right)^2} = 54\\{y_H} = 2{x_H} + 2\\{z_H} = \frac{{3{x_H} - 5}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{89}}{{16}}x_H^2 - \frac{3}{8}{x_H} - \frac{{783}}{{16}} = 0\\{y_H} = 2{x_H} + 2\\{z_H} = \frac{{3{x_H} - 5}}{4}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 3\\{y_H} = 8\\{z_H} = 1\end{array} \right.\) hoặc \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{ - 261}}{{89}}\\{y_H} =  - \frac{{344}}{{89}}\\{z_H} = \frac{{ - 307}}{{89}}\end{array} \right.\).

Vì \({z_H} > 0\) nên \(H\left( {3;8;1} \right)\).

Giá trị của \(T\) là:  \(T = 3 \cdot 8 \cdot 1 = 24\).