Năm 2016, trong chiến dịch mang tên “Niềm tự hào cuối cùng của loài người”, kỳ thủ cờ vây số một thế giới Lee Sedol đã có trận đấu lịch sử với trí tuệ nhân tạo AlphaGo. Một trò chơi mô phỏng trận đấu này có luật như sau: Điểm khởi đầu của kỳ thủ là 2. Trong mỗi ván đấu, nếu thắng kỳ thủ được cộng 1 điểm, nếu hòa điểm số không thay đổi, nếu thua bị trừ 1 điểm. Trận đấu kết thúc ngay khi kỳ thủ đạt 3 điểm (giành chiến thắng) hoặc 0 điểm (thất bại). Giả sử xác suất mỗi ván thắng, hòa, thua của kỳ thủ lần lượt là \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{2}\) và kết quả các ván đấu là độc lập với nhau. Xác suất để trận đấu kết thúc sau đúng 6 ván và kỳ thủ là người giành chiến thắng là \(p\). Tính \(4096p\).

Đáp án: 41

Gọi kết quả của mỗi ván đấu lần lượt là \({\rm{T}}\) (Thắng), \({\rm{H}}\) (Hòa), \({\rm{B}}\) (Thua).

Theo giả thiết ta có: \(P\left( {\rm{T}} \right) = \frac{1}{4},P\left( {\rm{H}} \right) = \frac{1}{4},P\left( {\rm{B}} \right) = \frac{1}{2}\).

Trận đấu kết thúc ở ván thứ \(6\) và kỳ thủ thắng \( \Rightarrow \) ván thứ \(6\) phải thắng

Điểm số sau ván thứ \(5\) phải bằng \(2\). Trong \(5\) ván đầu kỳ thủ không được đạt \(3\) điểm hay \(0\) điểm.

Gọi số ván thắng, hòa, thua trong \(5\) ván đầu lần lượt là \(x,y,z\) (\(x,y,z \in \mathbb{N}\)).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 5}\\{2 + x - z = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 5}\\{x = z}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 1: \(x = z = 0 \Rightarrow y = 5\) ( tức \(5\) ván đầu hòa)

Xác suất là: \({p_1} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^5} \cdot \frac{1}{4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^6} = \frac{1}{{4096}}\).

Trường hợp 2: \(x = z = 1 \Rightarrow y = 3\)

Tức gồm \(1\) ván thắng, \(1\) ván thua, \(3\) ván hòa và thua trước thắng có: \(C_5^2 \cdot 1\) cách

Xác suất là: \({p_2} = C_5^2 \cdot 1 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}.\frac{1}{4} = 10 \cdot \frac{1}{{64}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}.\frac{1}{4} = \frac{5}{{1024}} = \frac{{20}}{{4096}}\).

Trường hợp 3: \(x = z = 2 \Rightarrow y = 1\)

Tức gồm \(2\) ván thắng, \(2\) ván thua, \(1\) ván hòa, và mỗi ván thua phải đứng trước 1 ván thắng

(ta có dãy BTBT, dãy này tạo ra 5 khoảng trống, ta xếp H vào 1 trong 5 khoảng trống trên) nên có 5 cách

Xác suất là: \({p_3} = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \cdot \frac{1}{4} = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{16}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{{1024}} = \frac{{20}}{{4096}}\).

Xác suất của biến cố là: \(p = {p_1} + {p_2} + {p_3} = \frac{1}{{4096}} + \frac{{20}}{{4096}} + \frac{{20}}{{4096}} = \frac{{41}}{{4096}}\).

Vậy \(4096p = 41\).