Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, tam giác \[SAB\] đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng \[\frac{{3\sqrt 7 }}{7}\]. Tính thể tích của khối chóp \[S.ABCD\].

Đáp án: 2,1

Gọi \(x,y\) lần lượt là số chiếc bánh kem và chiếc bánh bông lan mà cửa hàng làm mỗi ngày, với \(x \ge 0,y \ge 0\).

Số túi bột cần dùng là \(x + y\) (túi).

Lượng đường cần dùng là \(30x + 10y\) (gam).

Lượng hương liệu cần dùng là \(x + 4y\) (gam).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array}} \right.} \right.\).                           (*)

Số tiền cửa hàng nhận được mỗi ngày là \(F\left( {x;y} \right) = 0,25x + 0,2y\) (triệu đồng)

Ta tìm giá trị lớn nhất của \(F\left( {x\,;\,y} \right)\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \((*)\).

Miền nghiệm của \((*)\) là miền ngũ giác \(OABCD\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {7;0} \right),\,B\left( {6;3} \right),\,C\left( {4;5} \right),\,D\left( {0;6} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0\), \(F\left( {7;0} \right) = 1,75\), \(F\left( {6;3} \right) = 2,1\), \(F\left( {4;5} \right) = 2\), \(F\left( {0;6} \right) = 1,2\).

So sánh kết quả tìm được ta thấy doanh thu lớn nhất đạt được là 2,1 triệu đồng.

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là \[1{\rm{ cm}}.\] Khi đó \(K\left( {3\,;\,0} \right),\,\,B\left( {5\,;\,0} \right).\)

Có \(OD = \frac{1}{2}AB = 5 \Rightarrow DK = \sqrt {O{D^2} - O{K^2}} = 4.\)

Dẫn tới \(BC = BD = \sqrt {B{K^2} + K{D^2}} = 2\sqrt 5 \) nên \(OC = 5 - 2\sqrt 5 \)\( \Rightarrow C\left( {5 - 2\sqrt 5 \,;\,0} \right).\)

Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là \({x^2} + {y^2} = 25.\)

Phương trình đường tròn tâm \(B\), bán kính \(BD\) là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = 20.\)

Gọi \[\left( {{C_1}} \right):y = \sqrt {25 - {x^2}} \] và \(\left( {{C_2}} \right):y = \sqrt {20 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} .\)

Gọi \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\left( {{C_1}} \right),\,\,Ox,\,\,Oy,\,\,x = 3.\) Thể tích khối tròn xoay sinh bởi \(\left( {{H_1}} \right)\) khi quay quanh trục \(Ox\) là: \[{V_1} = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} .\]

Gọi \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\left( {{C_2}} \right),\,\,Ox,\,\,x = 5 - 2\sqrt 5 ,\,\,x = 3.\) Thể tích khối tròn xoay sinh bởi \(\left( {{H_2}} \right)\) khi quay quanh trục \(Ox\) là: \[{V_2} = \pi \int\limits_{5 - 2\sqrt 5 }^3 {{{\left( {\sqrt {20 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} .\]

Thể tích cần tìm là \(V = 2\left( {{V_1} - {V_2}} \right) \approx 275\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}\)