Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền \(\left( H \right)\) (phần màu xám trong hình vẽ) quanh trục \(AB.\) Miền \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đường tròn đường kính \(AB\) và các cung tròn tâm \(A,\,\,B\) có cùng bán kính. Biết \(AB = 10\,\,{\rm{cm}},\,\,AH = BK = 2\,\,{\rm{cm}}.\) Thể tích vật trang trí đó bằng bao nhiêu \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 2,1

Gọi \(x,y\) lần lượt là số chiếc bánh kem và chiếc bánh bông lan mà cửa hàng làm mỗi ngày, với \(x \ge 0,y \ge 0\).

Số túi bột cần dùng là \(x + y\) (túi).

Lượng đường cần dùng là \(30x + 10y\) (gam).

Lượng hương liệu cần dùng là \(x + 4y\) (gam).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array}} \right.} \right.\).                           (*)

Số tiền cửa hàng nhận được mỗi ngày là \(F\left( {x;y} \right) = 0,25x + 0,2y\) (triệu đồng)

Ta tìm giá trị lớn nhất của \(F\left( {x\,;\,y} \right)\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \((*)\).

Miền nghiệm của \((*)\) là miền ngũ giác \(OABCD\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {7;0} \right),\,B\left( {6;3} \right),\,C\left( {4;5} \right),\,D\left( {0;6} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0\), \(F\left( {7;0} \right) = 1,75\), \(F\left( {6;3} \right) = 2,1\), \(F\left( {4;5} \right) = 2\), \(F\left( {0;6} \right) = 1,2\).

So sánh kết quả tìm được ta thấy doanh thu lớn nhất đạt được là 2,1 triệu đồng.

Gọi \[H,\,M\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,CD\].

Tam giác \[SAB\] đều, suy ra \[SH \bot AB\], mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]\[ \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\].

Gọi \[E\] là hình chiếu của \[H\] trên \[SM\].

Suy ra: \[HE \bot SM\] và \[HE \bot CD\](do \[CD \bot \left( {SHM} \right)\] vì \[CD \bot SH,\,HM\]). Do đó: \[HE \bot \left( {SCD} \right)\].

Vậy \[d\left( {H,\,\left( {SCD} \right)} \right) = HE = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\].

Xét tam giác \[SHM\] vuông tại \[H\], có \[MH = AB,\,SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\].

Suy ra: \[\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}} = \frac{7}{{3A{B^2}}} = \frac{7}{9}\]\[ \Rightarrow AB = \sqrt 3 ,\,SH = \frac{3}{2}\].

Vậy \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1,5\].