Cho đường thẳng \(p\) cắt hai đường thẳng \(m\) và \(n\) lần lượt tại điểm \(M\) và \(N\) như hình vẽ dưới.

Khi đó \(\widehat {{M_3}}\) và \(\widehat {{N_3}}\) là:

a) Vì tia \(PI\) là tia đối của tia \(PN\) nên \(\widehat {MPN}\) và \(\widehat {MPI}\) là hai góc kề bù.

Suy ra \(\widehat {MPI} = 180^\circ  - \widehat {MPN} = 180^\circ  - 80^\circ  = 100^\circ \).

Vì \(PQ\) là tia phân giác của \(\widehat {MPI}\) nên

\(\widehat {QPI} = \widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {MPI}}}{2} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ \).

b) Ta có \(\widehat {QPI} = \widehat {MNP} = 50^\circ \), mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(PQ\,{\rm{//}}\,NM\).

c)

Vì \(PH \bot MN\) và \(PQ\,{\rm{//}}\,MN\) nên \(PH \bot PQ\), suy ra \(\widehat {HPQ} = 90^\circ \).

Vì tia \(PM\) nằm giữa hai tia \(PH\) và \(PQ\) nên ta có:

\[\widehat {MPH} = \widehat {HPQ} - \widehat {MPQ} = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ \].

Vì tia \(PH\) nằm giữa hai tia \(PM\) và \(PN\) nên ta có:

\(\widehat {NPH} = \widehat {MPN} - \widehat {MPH} = 80^\circ  - 40^\circ  = 40^\circ \).

Tổng \(A\) có \(200 - 101 + 1 = 100\) số hạng. Chia \(A\) thành 5 nhóm, mỗi nhóm 20 số hạng:

\(A = \left( {\frac{1}{{101}} +  \ldots  + \frac{1}{{120}}} \right) + \left( {\frac{1}{{121}} +  \ldots  + \frac{1}{{140}}} \right) + \left( {\frac{1}{{141}} +  \ldots  + \frac{1}{{160}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{181}} +  \ldots  + \frac{1}{{200}}} \right)\).

⦁ Chứng minh \(A > \frac{5}{8}\): Trong mỗi nhóm, các số hạng đều lớn hơn hoặc bằng số hạng cuối của nhóm, trong đó có số hạng lớn hơn, nên:

\(A > \frac{{20}}{{120}} + \frac{{20}}{{140}} + \frac{{20}}{{160}} + \frac{{20}}{{180}} + \frac{{20}}{{200}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} = \frac{{1627}}{{2520}} > \frac{{1575}}{{2520}} = \frac{5}{8}\).

⦁ Chứng minh \(A < \frac{3}{4}\): Mỗi số hạng của nhóm thứ nhất nhỏ hơn \(\frac{1}{{100}}\), nhóm thứ hai nhỏ hơn \(\frac{1}{{120}}\), nhóm thứ ba nhỏ hơn \(\frac{1}{{140}}\), nhóm thứ tư nhỏ hơn \(\frac{1}{{160}}\), nhóm thứ năm nhỏ hơn \(\frac{1}{{180}},\)nên:

\(A < \frac{{20}}{{100}} + \frac{{20}}{{120}} + \frac{{20}}{{140}} + \frac{{20}}{{160}} + \frac{{20}}{{180}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} = \frac{{1879}}{{2520}} < \frac{{1890}}{{2520}} = \frac{3}{4}\).