Giải các phương trình và hệ phương trình:

a) \({x^2} - {\left( {2 - 3x} \right)^2} = 0\).                                             

b) \(\frac{3}{{x + 2}} + \frac{x}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{4{x^2}}}{{{x^3} + 8}}\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = 5}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\).

a) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AH\). Suy ra \(OA = OH = \frac{1}{2}AH\).

Vì \(BE \bot AC\) tại \(E\) nên \({\rm{\Delta }}AEH\) vuông tại \(E\), có \(EO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(EO = \frac{{AH}}{2}\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền) (1).

Vì \(CF \bot AB\) tại \(F\) nên \({\rm{\Delta }}AFH\) vuông tại \(F\), có \(FO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(FO = \frac{{AH}}{2}\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(OA = OH = OE = OF = \frac{{AH}}{2}\).

Vậy bốn điểm \(A,\,\,E,\,\,H,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = \frac{{AH}}{2}\) (đường tròn đường kính \(AH\)).

Trong đường tròn này, \(EF\) là một dây, \(AH\) là đường kính nên \(EF \le AH\).

Nếu \(EF = AH\) thì \(EF\) là đường kính, khi đó \(\widehat {EAF} = 90^\circ \), trái với giả thiết \(\Delta ABC\) nhọn.

Vậy \(EF < AH\).

b)

Xét \({\rm{\Delta }}AEB\) và \({\rm{\Delta }}AFC\) có: \(\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAC}\) là góc chung.

Suy ra $\text{Δ}AEB\backsim \text{Δ}AFC$ (g.g), do đó \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\).

Từ \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\) suy ra \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}AEF\) và \({\rm{\Delta }}ABC\) có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\), \(\widehat {BAC}\) là chung.

Suy ra $\text{Δ}AEF\backsim \text{Δ}ABC$ (c.g.c), do đó \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) và \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\).

Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) (giao của hai đường cao \(BE\) và \(CF\)) nên \(AJ \bot BC\).

\(\Delta ABJ\) vuông tại \(J\) nên \(\widehat {FAH} = \widehat {BAJ} = 90^\circ  - \widehat {ABC}\) (3).

Gọi \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\), ta có \(AK \bot EF\).

\(\Delta AEF\) có \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) và \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\) đều là góc nhọn nên \(K\) nằm giữa \(E\) và \(F\).

Tam giác \(AKE\) vuông tại \(K\) nên ta có:

\(\widehat {DAE} = \widehat {KAE} = 90^\circ  - \widehat {AEK} = 90^\circ  - \widehat {AEF} = 90^\circ  - \widehat {ABC}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {DAE}\).

c) \(\Delta ABE\) vuông tại \(E\) có:

\(AE = AB \cdot \cos \widehat {BAC} = AB \cdot \cos 60^\circ  = \frac{{AB}}{2}\), suy ra \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).

Vì $\text{Δ}AEF\backsim \text{Δ}ABC$ nên \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(EF = \frac{{BC}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\).

Tương tự, tam giác \(AFC\) vuông tại \(F\) có:

\(AF = AC \cdot \cos 60^\circ  = \frac{{AC}}{2}\), suy ra \(\frac{{AC}}{{AF}} = 2\).

Xét \({\rm{\Delta }}ADC\) và \({\rm{\Delta }}AIF\) có:

\(\widehat {DAC} = \widehat {IAF}\) (vì \(\widehat {DAE} = \widehat {FAH}\) theo câu b);

\(\widehat {ACD} = \widehat {AFI}\) (vì \(\widehat {ACB} = \widehat {AFE}\)).

Suy ra $\text{Δ}ADC\backsim \text{Δ}AIF$ (g.g) với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{AC}}{{AF}} = 2\).

Vậy \(\frac{{{S_{{\rm{\Delta }}ADC}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}AIF}}}} = {k^2} = 4\).

a) \(12\) cabin được bố trí đều trên đường tròn nên chia đường tròn thành \(12\) cung bằng nhau.

Số đo cung giữa hai cabin gần nhau nhất là: \(\frac{{360^\circ }}{{12}} = 30^\circ \).

b)

Gọi \(O\) là tâm vòng quay, \(A\) là vị trí cabin của bạn Hải khi lên điểm cao nhất, \(B\) là vị trí cabin của bạn Nam.

Hai cabin kề nhau nên \(\widehat {AOB} = 30^\circ \).

Kẻ \(BK \bot OA\) tại \(K\).

Tam giác \(OBK\) vuông tại \(K\) có \(OK = OB \cdot \cos \widehat {BOK} = 75 \cdot \cos 30^\circ  = \frac{{75\sqrt 3 }}{2}\) (m).

Tâm \(O\) ở độ cao \(90{\rm{\;m}}\) nên độ cao của bạn Nam là: \(90 + \frac{{75\sqrt 3 }}{2} \approx 154,95\) (m).

Vậy khi bạn Hải lên độ cao cao nhất thì bạn Nam đang ở độ cao khoảng \(154,95\) m.