Giải hệ phương trình, phương trình, bất phương trình:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 5y =  - 3}\\{ - 3x - 4y = 1}\end{array}} \right.\).                     

b) \(\left( {x - 4} \right)\left( {5x + 3} \right) = 0\).

c) \(\frac{4}{{x - 3}} + \frac{2}{{x + 3}} = \frac{{5x + 1}}{{{x^2} - 9}}\).        

d) \(5\left( {2x - 3} \right) + 1 \ge 4\left( {x - 7} \right)\).

Kẻ \(DK\) vuông góc với đường thẳng \(EM\) tại \(K\) (như hình vẽ).

Vì \(\widehat {DME}\) là góc tù nên \(K\) thuộc tia đối của tia \(ME\), do đó \(M\) nằm giữa \(E\) và \(K\).

Từ đó, \(\widehat {DMK} = 180^\circ  - \widehat {DME} = 180^\circ  - 150^\circ  = 30^\circ \) (hai góc kề bù).

Xét \({\rm{\Delta }}DKM\) vuông tại \(K\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

\(\sin \widehat {DMK} = \frac{{DK}}{{MD}}\) suy ra \(DK = MD \cdot \sin \widehat {DMK} = 20 \cdot \sin 30^\circ  = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\) (m).

\(\cos \widehat {DMK} = \frac{{MK}}{{MD}}\) suy ra \(MK = MD \cdot \cos \widehat {DMK} = 20 \cdot \cos 30^\circ  = 20 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \) (m).

Do đó, \(EK = EM + MK = 30\sqrt 3  + 10\sqrt 3  = 40\sqrt 3 \) (m).

Xét \({\rm{\Delta }}DKE\) vuông tại \(K\), theo định lí Pythagore ta có:

\(D{E^2} = D{K^2} + E{K^2} = {10^2} + {\left( {40\sqrt 3 } \right)^2} = 100 + 4800 = 4900\), suy ra \(DE = 70\) (m).

a) Xét \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(AB = AC \cdot \tan C = 12 \cdot \tan 30^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 \) (cm);

⦁ \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\frac{1}{2}}} = 8\sqrt 3 \) (cm).

b) Xét \({\rm{\Delta }}AHC\) vuông tại \(H\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AH = AC \cdot \sin C = 12 \cdot \sin 30^\circ  = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) (cm);

⦁ \(\cos C = \frac{{CH}}{{AC}}\) suy ra \(CH = AC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 30\,^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \) (cm).

c) Xét \({\rm{\Delta }}HKC\) vuông tại \(K\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(HK = CH \cdot \sin C = 6\sqrt 3  \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt 3 \) (cm);

⦁ \(CK = CH \cdot \cos C = 6\sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 9\) (cm).

Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(CI = \frac{{AC}}{2} = 6\) (cm).

Vì \(I,\,\,K\) cùng thuộc \(CA\) và \(CI < CK\) nên điểm \(I\) nằm giữa \(C\) và \(K\), suy ra \(IK = CK - CI = 9 - 6 = 3\) (cm).

Xét \({\rm{\Delta }}HKI\) vuông tại \(K\), theo định lí Pythagore ta có:

\(H{I^2} = H{K^2} + K{I^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} + {3^2} = 27 + 9 = 36\) suy ra \(HI = 6\) (cm).

Chu vi \({\rm{\Delta }}HKI\) là:

\(HK + KI + HI = 3\sqrt 3  + 3 + 6 = 9 + 3\sqrt 3 \) (cm).