Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai địa điểm \(D,\,\,E\) ở hai bên hồ nước. Biết rằng các khoảng cách từ một điểm \(M\) đến \(D\) và đến \(E\) là \(MD = 20\) m, \(ME = 30\sqrt 3 \) m và \(\widehat {DME} = 150^\circ \). Hãy tính \(DE\) giúp bạn.

a) Xét \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(AB = AC \cdot \tan C = 12 \cdot \tan 30^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 \) (cm);

⦁ \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\frac{1}{2}}} = 8\sqrt 3 \) (cm).

b) Xét \({\rm{\Delta }}AHC\) vuông tại \(H\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AH = AC \cdot \sin C = 12 \cdot \sin 30^\circ  = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) (cm);

⦁ \(\cos C = \frac{{CH}}{{AC}}\) suy ra \(CH = AC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 30\,^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \) (cm).

c) Xét \({\rm{\Delta }}HKC\) vuông tại \(K\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(HK = CH \cdot \sin C = 6\sqrt 3  \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt 3 \) (cm);

⦁ \(CK = CH \cdot \cos C = 6\sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 9\) (cm).

Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(CI = \frac{{AC}}{2} = 6\) (cm).

Vì \(I,\,\,K\) cùng thuộc \(CA\) và \(CI < CK\) nên điểm \(I\) nằm giữa \(C\) và \(K\), suy ra \(IK = CK - CI = 9 - 6 = 3\) (cm).

Xét \({\rm{\Delta }}HKI\) vuông tại \(K\), theo định lí Pythagore ta có:

\(H{I^2} = H{K^2} + K{I^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} + {3^2} = 27 + 9 = 36\) suy ra \(HI = 6\) (cm).

Chu vi \({\rm{\Delta }}HKI\) là:

\(HK + KI + HI = 3\sqrt 3  + 3 + 6 = 9 + 3\sqrt 3 \) (cm).

Gọi giá niêm yết của mỗi quyển vở là \(x\) (đồng), giá niêm yết của mỗi cây bút là \(y\) (đồng). Điều kiện: \(x > 0,\,\,y > 0\).

Tổng số tiền phải trả khi chưa giảm giá là \(200\,\,000\) đồng nên ta có phương trình:

\(15x + 10y = 200000\) hay \(3x + 2y = 40000\) (1).

Số tiền Bình thực trả là: \(180000 - 5000 = 175000\) (đồng).

Số tiền Bình được giảm là: \(200000 - 175000 = 25000\) (đồng).

Do đó, ta có phương trình:

\(10\%  \cdot 15x + 20\%  \cdot 10y = 25000\) hay \(1,5x + 2y = 25000\) tức là \(3x + 4y = 50000\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y = 40000}\\{3x + 4y = 50000}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được:

\(2y = 10000\) suy ra \(y = 5000\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 5000\) vào (1), ta được \(3x + 10000 = 40000\), suy ra \(x = 10000\) (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của mỗi quyển vở là \(10\,\,000\) đồng, giá niêm yết của mỗi cây bút là \(5\,\,000\) đồng.