(Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình)

Cửa hàng văn phòng phẩm Minh Châu khuyến mãi: mỗi cây bút chì gỗ (loại hộp lẻ) được giảm \(20\% \) so với giá niêm yết, mỗi quyển vở được giảm \(10\% \) so với giá niêm yết. Bạn Bình mua \(15\) quyển vở và \(10\) cây bút. Khi tính tiền, Bình đưa \(180\,\,000\) đồng và được thối lại \(5\,\,000\) đồng. Biết rằng trên hóa đơn, tổng số tiền phải trả khi chưa giảm giá là \(200\,\,000\) đồng. Tính giá niêm yết của mỗi quyển vở và mỗi cây bút mà Bình đã mua.

Kẻ \(DK\) vuông góc với đường thẳng \(EM\) tại \(K\) (như hình vẽ).

Vì \(\widehat {DME}\) là góc tù nên \(K\) thuộc tia đối của tia \(ME\), do đó \(M\) nằm giữa \(E\) và \(K\).

Từ đó, \(\widehat {DMK} = 180^\circ  - \widehat {DME} = 180^\circ  - 150^\circ  = 30^\circ \) (hai góc kề bù).

Xét \({\rm{\Delta }}DKM\) vuông tại \(K\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

\(\sin \widehat {DMK} = \frac{{DK}}{{MD}}\) suy ra \(DK = MD \cdot \sin \widehat {DMK} = 20 \cdot \sin 30^\circ  = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\) (m).

\(\cos \widehat {DMK} = \frac{{MK}}{{MD}}\) suy ra \(MK = MD \cdot \cos \widehat {DMK} = 20 \cdot \cos 30^\circ  = 20 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \) (m).

Do đó, \(EK = EM + MK = 30\sqrt 3  + 10\sqrt 3  = 40\sqrt 3 \) (m).

Xét \({\rm{\Delta }}DKE\) vuông tại \(K\), theo định lí Pythagore ta có:

\(D{E^2} = D{K^2} + E{K^2} = {10^2} + {\left( {40\sqrt 3 } \right)^2} = 100 + 4800 = 4900\), suy ra \(DE = 70\) (m).

a) Xét \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(AB = AC \cdot \tan C = 12 \cdot \tan 30^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 \) (cm);

⦁ \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\frac{1}{2}}} = 8\sqrt 3 \) (cm).

b) Xét \({\rm{\Delta }}AHC\) vuông tại \(H\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AH = AC \cdot \sin C = 12 \cdot \sin 30^\circ  = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) (cm);

⦁ \(\cos C = \frac{{CH}}{{AC}}\) suy ra \(CH = AC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 30\,^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \) (cm).

c) Xét \({\rm{\Delta }}HKC\) vuông tại \(K\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:

⦁ \(HK = CH \cdot \sin C = 6\sqrt 3  \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt 3 \) (cm);

⦁ \(CK = CH \cdot \cos C = 6\sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 9\) (cm).

Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(CI = \frac{{AC}}{2} = 6\) (cm).

Vì \(I,\,\,K\) cùng thuộc \(CA\) và \(CI < CK\) nên điểm \(I\) nằm giữa \(C\) và \(K\), suy ra \(IK = CK - CI = 9 - 6 = 3\) (cm).

Xét \({\rm{\Delta }}HKI\) vuông tại \(K\), theo định lí Pythagore ta có:

\(H{I^2} = H{K^2} + K{I^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} + {3^2} = 27 + 9 = 36\) suy ra \(HI = 6\) (cm).

Chu vi \({\rm{\Delta }}HKI\) là:

\(HK + KI + HI = 3\sqrt 3  + 3 + 6 = 9 + 3\sqrt 3 \) (cm).