Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O').

Chứng mình rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: $\stackrel{⏜}{BE}=\stackrel{⏜}{BD}$ )

+) Cho đường tròn (O); dây cung AB; I là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$ , H = OI ∩ AB

Ta có: $\stackrel{⏜}{AI}=\stackrel{⏜}{BI}$

Suy ra: sđ $\stackrel{⏜}{AI}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BI}$

Do đó: $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Xét ΔAOH và ΔBOH có:

AO = OB,

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

OH chung

Suy ra ΔAOH = ΔBOH (c – g – c)

Do đó $\widehat{AHO}=\widehat{BHO}$

Mà $\widehat{AHO},\widehat{BHO}$  là hai góc kề bù nên $\widehat{AHO}=\widehat{BHO}=90°$

OH ⊥ AB.

Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.

+) Cho đường tròn (O); dây cung AB.

Kẻ đường thẳng OH ⊥ AB (H ∈ AB) cắt đường tròn tại I.

Ta có: ΔABO cân tại O (vì AO = OB = R).

Đường cao OH đồng thời là đường phân giác

Suy ra $\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$

Hay $\widehat{AOI}=\widehat{BOI}$

Suy ra $\stackrel{⏜}{AI}=\stackrel{⏜}{BI}$

 I là điểm chính giữa của cung $\stackrel{⏜}{AB}$

Vậy đường kính vuông góc với dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung.