Cho phương trình $m+\sin \left(m+\sin 3x\right)=\sin \left(3\sin x\right)+4{\sin }^{3}x$.  Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình có nghiệm thực?

Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC, CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với $A\left(1;1;1\right), B\left(-1;1;0\right), C\left(1;3;2\right)$. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;2\right)$  và vectơ đơn vị $\overrightarrow{v}$  thỏa mãn $\left|\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}\right| = 4$  Độ dài của vectơ$\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}$ bằng

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$  có số hạng đầu  $u_1 = 2$ và $u_4 = 54$  Giá trị $u_{2019}$  bằng

Cho hình vuông ABCD cạnh a trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động. Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng

Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa ${\log }_a^2 b +\hspace{0.17em}{\log }_b^2 c =\hspace{0.17em}{\log }_a \frac{c}{b} - 2{\log }_b \frac{c}{b} - 3$

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = {\log }_a b - {\log }_b c$  Giá trị của biểu thức $S = 2m + 3M$  bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục tại $x_0$ và có bảng biến thiên sau

Mệnh đề nào sau đây là đúng?