Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $AB=BC=\frac{1}{2}AA\text{'}$  Gọi O,O’ lần lượt là tâm hai đáy ABCD và A’B’C’D’, M là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MO\text{'}}$  Giá trị tan góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MAD) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]  thỏa mãn $f\left(x\right)=6x^{2}f\left(x^3\right)+\frac{3}{\sqrt{3x+1}}$  Giá trị ${\int }_0^2\left(x+1\right)f\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$  bằng

Từ một miếng tôn hình tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$ , người ta dùng để chế tạo một thùng hình trụ  không đáy có thể tích V bằng cách cắt ra một hình chữ nhật như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của V bằng bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Với các giá trị x,y bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $f\left(ab+bc+ca+3\right)$+$f\left(2-2a^2-2b^2-2c^2\right)=1$  với hàm số $f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+4}$  Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2-\frac{1}{a+b+c+3}$  bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-20;20\right]$  để bất phương trình $2^{2x+1}-12m.2^{x-1}+5m^2-10<0$  có nghiệm thực?

Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\sqrt{3}a$. M là trung điểm cạnh A'B', N là điểm trên tia đối của tia C'A' sao choA’C’=2NC. Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa đỉnh A' bằng