Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho họ đường thẳng (${\mathrm{d}}_{\mathrm{m}}$): $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{mt}\\ \mathrm{y}=-1+\left(2\mathrm{m}-1\right)\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2+\left(3\mathrm{m}+1\right)\mathrm{t}\end{array}\right.$ , m là tham số thực. Mặt phẳng (a) luôn qua (${\mathrm{d}}_{\mathrm{m}}$). Tìm chu vi đường tròn giao tuyến của mặt cầu

$\left(\mathrm{S}\right): {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-4\mathrm{x}-2\mathrm{y}-2\mathrm{z}-3=0$ và mặt phẳng a

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}m{x}^3-\left(m-1\right)x^2+3\left(m-2\right)x+2018$ với m là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1+2x_2=1$ bằng

Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left|\mathrm{z}-\mathrm{i}\right|=5$ và ${\mathrm{z}}^2$ là số thuần ảo?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, gọi I là trung điểm của AB, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của CI, góc giữa SA và mặt đáy bằng $45°$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và CI bằng:

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và $\mathrm{AB}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{2}; \mathrm{AC}=\mathrm{a}\sqrt{2}; \mathrm{CD}=\mathrm{a}$ . Gọi E là trung tâm của AC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng AB và DE bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x, $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$, $\mathrm{y}=1$ trên miền $\mathrm{x}\ge 0, \mathrm{y}\le 1$ là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):

${\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{y}+2\right)}^2+{\left(\mathrm{z}-5\right)}^2=9$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A(2;-4;3)?

Biết $\mathrm{A}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}; {\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}\right) , \mathrm{B}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}; {\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}\right)$ là 2 điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}$ sao cho đoạn thẳng AB có đồ dài nhỏ nhất. Tính $\mathrm{P}={\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}.{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}$