Biết rằng hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1-3-4i\right|=1$ và $\left|z_2-3-4i\right|=\frac{1}{2}$. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn $3a-2b=12.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|+2$  bằng

Chọn đáp án C

Gọi $M_1,M_2,M$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z_1,2z_2,z$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Do $\left|z_1-3-4i\right|=1$ nên quỹ tích điểm $M_1$ là đường tròn $\left(C_1\right)$ có tâm $I_1\left(3;4\right)$ và bán kính R = 1 

Do $\left|z_2-3-4i\right|=\frac{1}{2}$$\iff \left|2z_2-6-8i\right|=1$ nên quỹ tích điểm $M_2$ là đường tròn $\left(C_2\right)$ có tâm $I_2\left(6;8\right)$ và bán kính R = 2 

Ta có điểm M(a; b) thỏa mãn 3a - 2b = 12 nên quỹ tích điểm M là đường thẳng d: 3x - 2y - 12 = 0

Khi đó

Gọi $\left(C_3\right)$ là đường tròn đối xứng với đường tròn $\left(C_2\right)$ qua đường thẳng d.

Ta tìm được tâm của $\left(C_3\right)$ là $I_3\left(\frac{138}{13}; \frac{64}{13}\right)$ và bán kính R = 1

Khi đó

với $M_3\in \left(C_3\right)$ và A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng $I_1{I}_3$ với hai đường tròn $\left(C_1\right), \left(C_3\right)$ (quan sát hình vẽ).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M_1\equiv A$ và $M_3\equiv B$

Vậy $P_{min}=AB+2=I_1{I}_3=\frac{3\sqrt{1105}}{13}$