Cho hình lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, thể tích của khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ bằng $\sqrt{3}{a}^3$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng

Tìm m để hàm số $y=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)-mx+3$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Cho ba hàm số $y=f\left(x\right), y=g\left(x\right), y=h\left(x\right)$. Đồ thị của ba hàm số $y=f\text{'}\left(x\right), y=g\text{'}\left(x\right), y=h\text{'}\left(x\right)$ được cho như hình vẽ. 

Hàm số $k\left(x\right)=f\left(x+7\right)+g\left(5x+1\right)-h\left(4x+\frac{3}{x}\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho nửa đường tròn đường kính AB, điểm C nằm trên nửa đường tròn này sao cho góc BAC bằng $30°$, đồng thời cho nửa đường tròn đường kính AD (xem hình vẽ). Tính thểt ích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB, biết rằng $AB=2AD$ và nửa hình tròn đường kính AB có diện tích bằng $32\mathrm{\pi }$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ của điểm M.

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có cùng các số hạng thứ $m+1$, thứ $n+1$, thứ $p+1$ là 3 số dương a, b, c. Tính $T=a^{b-c}.b^{c-a}.c^{a-b}$

Cho hàm $f\left(x\right)=x\ln x$. Nghiệm của phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0$ là